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排列组合公式推导
排列P------和顺序有关
组合C -------不牵涉到顺序的问题
排列分顺序,组合不分
例如把5本不同的书分给3个人,有几
种分法.排列
把5本书分给3个人,有几种分法
组合
1．排列及计算公式
从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从
n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个
元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用
符号p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)„„(n-m+1)= n!(n-m)!(规定0!=1).
2．组合及计算公式
从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素
中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组
合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号
c(n,m)表示.
c(n,m)=p(n,m)m!=n!((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m)
3．其他排列与组合公式
从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)r=n!r(n-r)!.
1 17

n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列
数为
n!(n1!*n2!*...*nk!).
k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m).
排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）
Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！（n-m）！（注：
！是阶乘符号）；Pnn（两个n
分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n
组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)）
Cnm=PnmPmm ；Cnm=n！m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下
标）=1；Cn1（n 为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m
2008-07-08 13:30
公式P 是指排列，从N 个元素取R 个进行排列。
公式C 是指组合，从N 个元素取R 个，不进行排列。
N-元素的总个数
R 参与选择的元素个数
！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N 倒数r 个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n 到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r
举例：
Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
2 17

A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列
P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，
我们可以这么看，百位 数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则
应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8* 7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝
9*8*7,(从9倒数3个的乘积）
Q2:有从1 到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，
可以组合成多少个“三国联盟”？
A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即
可。即不要求 顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最
终组合数
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1设有3名学生和4个课外小组．
（1）每名学生都只参加一个课外小组；
（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小 组至多有一名学生参
加．各有多少种不同方法？解
（1）由于每名学生都可以参加4个课外小 组中的任何一个，而不限制每个
课外小组的人数，因此共有种不同方法．
（2）由于每名学生 都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生
参加，因此共有种不同方法．
点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计
算．
3 17

例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排 第四的不同排
法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，
共3 类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：
∴符合题意的不同排法共有9种．
点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，
“树图”是一种具有直观形 象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．
例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．
（1）xx年级学生会有11人：
①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了
多少次手？
（2）高二年级数学课外小组共10人：
①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同 的选法？②从中选2
名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：
①从中任取两个数求它们的商 可以有多少种不同的商？②从中任取两个求
它的积，可以得到多少个不同的积？
（4）有8盆花：
①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中< br>选出2盆放在教室有多少种不同的选法？
分析
（1）①由于每人互通一封信，甲给乙 的信与乙给甲的信是不同的两封
信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙 与甲
握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．
（1）①是排列问题，共享了封信；②是组合问题，共需握手（次）．
4 17

（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不
同的选法．
（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的
积．
（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的
选法．
例４证明．
证明左式
右式．
∴等式成立．
点评这是一个排列 数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘
的性质，可使变形过程得以简化．
例5化简．
解法一原式
解法二原式
点评解法一选用了组合数公式的阶乘 形式，并利用阶乘的性质；解法二选
用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．
例6xx：
（1）；
（2）．解（1）原方程
解得．
（2）原方程可变为
5 17

∵，，
∴原方程可化为．
即，解得
第六章排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.
2.理解排列、 组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性
质，并能用它们解决一些简单的问题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问
题.
二、知识结构
三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明加 法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排
列、组合中有关问题提供了理论根据.
例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的
报名方法共有多少种?
解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生
都有3种不同的报名方法，根 据乘法原理，得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=3
5(种)
(二)排列、排列数公式
6 17

说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研
究的对象以及研究问题的方法都和前 面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法
比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空 题考查.例2由
数字
1、2、
3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )
A.60个B.48个C.36个D.24个
解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五
位
数，万位只能是
1、3或
2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，
中间3个位数的排法有P33，得P1P3P1＝36(个)332由此可知此题应选C.
例3将数字
1、2、
3、4填入标号为
1、2、
3、4的四 个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均
不同的填法有多少种?
解：
将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法
有3种，即214 3 ，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填
法；将数字1填入第4方格，也对 应3种填法，因此共有填法为
7 17

3P13=9(种).
例四例五可能有问题，等思考
三)组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排 列组合的应用题，且基
本上都是由选择题或填空题考查.
例4从4台甲型和5台乙型电视机中 任意取出3台，其中至少有甲型与乙
型电视机各1台，则不同的取法共有( )
A.140种B.84种C.70种D.35种
解：
抽出的3台电视机中甲型1台 乙型2台的取法有C14·C2种；甲型2台乙5
型1台的取法有C24·C1种
根据加法原理可得总的取法有5C24·C2+C25
4·C1=40+30=70(种)5可知此题应选C.
例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8 项工程，甲公司承包3项，乙公司承
包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?
解：
甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C38种；
乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；
丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C
24种；
丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方
式有C22种.
8 17

根据乘法原理可得承包方式的种数有C
38×C15×C24×C2=×1=1680(种).2(四)二项式定理、二项展开式的性质 说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常
用的基础知识，从1985 年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考
查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题 或填空题.
例6在(x- )
10的xxxx，x
6的系数是( )
A.-27C610B.27C4C.-9C6D.9C410
10
10
解设(x- )
10的xx中第γ+1项含x
6，
因T
γ+1=Cγ10x
10-γ(- )
γ，10-γ=6,γ=4
于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(- )
4=9C410
故此题应选D.
例7 (x-1)-(x-1)
9 17

2＋(x-1)
3-(x-1)+(x-1)
５的xx中的x
２的系数等于解：
此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1) 的等比数列的前5项的和，则其和为在
(x-1)
6中含x
3的项是C36x
3(-1)
3=-20x
3，因此xxxxx
2的系数是-2 0.
(五)综合例题赏析
例8若(2x+ )
4=a
0+a
1x+a
2x
2+a
3x
3+a

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4x
4，则(a
0+a
2+a
4)
2-(a
1+a
3)
2的值为( )A.1 B.-1 C.0 D.2
解：
A.
例9 2名医生和4名护士被分 配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生
和2名护士，不同的分配方法共有( )
A.6种B.12种C.18种D.24种
解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12
种不
同的分配方法。
应选B.
例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其 中至少要有甲型与
乙型电视机各1台，则不同取法共有( ).
A.140种B.84种C.70种D.35种
解：
11 17

取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情
形 .∵C24·+C2·C15
4=5×6+10×4=70.
∴应选C.
例11 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1
名女生当选的不同选法有( )
A.27种B.48种C.21种D.24种
解：
分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：
∵C13·C
17+C2=3×7+3=24，3∴应选D.
例12由数学0，1，2，3，4，5组成没 有重复数字的六位数，其中个位数
字小于十位数字的共有( ).
A.210个B.300个
C.464个D.600个
解：
先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P15·P 5
5=600个.
由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占
一半.∴有×600=300个 符合题设的六位数.
应选B.
例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( ).
12 17

A.70个B.64个
C.58个D.52个
解：
如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C48=70个.
其中共面四点分3类：
构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如(ADB
1C
1)的有4组.
∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)
应选C. < br>例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线
中，异面直线共有( ).
A.12对B.24对
C.36对D.48对
解：
设正六棱锥为O—ABCDEF.
任取一侧棱OA(C16)则OA 与
BC、C
D、D
E、EF 均形成异面直线对.
∴共有C
13 17

16×4=24对异面直线.
应选B.
例15正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共个
(以数字作答).
解：7点中任取3个则有C37=35组.
其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).
∴三角形个数为35-3=32个.
例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由
集数为T，则的值为。
解10个元素的集合的全部子集数有：
S＝C010+C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8+C9+C
10
10=2 10=1024
10
10
10
10
10
10
10
10
10
14 17

3个元素组成的子

其中，含3个元素的子集数有T=C310=120
故=
例17在50件产品n 中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少
有3件是次品的抽法共
种(用数字作答).
解：
“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.
∴C34·C2+C446
4·C1=4186(种)
46
例18有甲 、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从
人中选派4人承担这三项任务，不同的选法 共有( ).
A.1260种B.2025种
C.2520种D.5040种
解：
先从10人中选2个承担任务甲(C210)
再从剩余8人中选1人承担任务乙(C
18)
又从剩余7人中选1人承担任务乙(C
17)
∴有C210·C
15 17

10

18C
17=2520(种).
应选C.
例19集合｛1，2，3｝子集总共有( ).
A.7个B.8个C.6个D.5个
解三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组
成的子集数C1
3，由二个元素组成的子集数C23。
由3个元素组成的子集数C33。由加法原理可得集合子集的总个数是C1
3+C23+C33+1=3+3+1+1＝8故此题应选B.
例20假设在200件产品中 有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至
少有两件次品的抽法有( ).
A.C23C3种B.C2197
3C3+C3197
3C2197
C.C5200-C5D.C5197
200-C13C4197
解：5件中恰有二件为次品的抽法为C23C3，
197
5件中恰三件为次品的抽法为C33C2，
197
∴至少有两件次品的抽法为C23C3197+C33C2.
16 17

197
应选B.
例21两排座位，第一排有3个座位， 第二排有5个座位，若8名学生入座
(每人一个座位)，则不同座法的总数是( ).
A.C58C3B.P18
2C58C3C.P58
8P3__8
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