冰毒对女性的危害-青涩的爱情

在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入
方法数的问题，常 用隔板法。

例1. 求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。

［分析 ］将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板
插入这些空隙中（每空至多插一块隔板） ，规定由隔板分成的左、中、
右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。则隔法与解的个数之< br>间建立了一一对立关系，故解的个数为C
9
2
=36（个）。实际运用隔板法< br>解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例
说明。

技巧一：添加球数用隔板法。

○ ○ ○∣○ ○ ○∣○ ○ ○ ○

例2. 求方程X+Y+Z=10的非负整数解的个数。
［分析］注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插
一块隔板”就不成立了，怎 么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一
个球。这样原问题就转化为求X+Y+Z=13的正整数解 的个数了，故解的
个数为C
12
2
=66（个）。

［点评］本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型隔板法问题。

技巧二：减少球数用隔板法：

例3. 将20个相同的小球放入编号分别为1，2， 3，4的四个盒子中，
要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。

解法 1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，
剩下14个球，有1种方法；再 把剩下的球分成4组，每组至少1个，

由例1知方法有C
13
3
=286（种）。

解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3 ，4
个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入
编号为1，2，3 ，4的盒子里，由例2知方法有C
13
3
=286（种）。

［点评］

两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题。

技巧三：先后插入用隔板法。

例4. 为宣传党的十六大会议精神，一文艺团体下基 层宣传演出，准备
的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟
再添两 个小品节目，则不同的排列方法有多少种？

［分析］

记两个小品节目分别 为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节
目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例2 知有C
5
1
种方法。
这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前 后的节目数，
同理知有C
6
1
种方法。故由分步计数原理知，方法共有C5
1
* C
6
1
(种)。

［点评］

对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法，使问题得到巧妙
解决。

解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是
组合问题，或者属于排列 与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特
征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究 一些策略和
方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法。下面通过例题逐个
掌握：

一、相邻问题---捆绑法 不邻问题---插空法

对于某几个元素不相邻的排列问题， 可先将其他元素排好，再将不
相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

【例题1】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相
对顺序不变，再添进去2个新节目，有 多少种安排方法?

A.20 B.12 C.6 D.4

【答案】A。

【解析】首先，从题中之3个节目固定，固有四个空。所以一、两
个新节目相邻的的时候：把它们捆在一起，看成一个节目，此时注意：
捆在一起的这两个节目本身也有顺 序，所以有：C(4，1)×2=4×2=8种方
法。二、两个节目不相邻的时候：此时将两个节目直接 插空有：A(4，
2)=12种方法。综上所述，共有12+8=20种。

二、插板法

一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱(一般< br>只要求不等于零)，只对分成的份数有要求。

【例题2】把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有
多少种分配方法?

A.190 B.171 C.153 D.19

【答案】B。

【解析】此题的想法即是插板思想：在20电脑内部所形成的19个
空中任意插入17个板 ，这样即把其分成18份，那么共有： C(19，

17)=C(19，2)=171 种。

三、特殊位置和特殊元素优先法

对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。

【例题2】从6名运动员中 选4人参加4×100米接力，甲不跑第一
棒和第四棒的参赛方案各有多少种?

A.120 B.240 C.180 D.60

【答案】B。

【解析】方法一：特殊位置优先法：首先填充第一棒，第一棒共有
5个元素可供选择，其次第4棒则有4 个元素可以选择;然后第2棒则有
4个元素可以选择，第3棒则有3个元素可以选择。则共有5×4×4 ×3=240
种。

方法二：特殊元素优先法：首先考虑甲元素的位置

第一类，甲不参赛有A(5,4)=120种排法;

第二类，甲参赛，因只 有两个位置可供选择，故有2种排法;其余5
人占3个位置有A(5,3)=60种占法，故有2×60 =120种方案。

所以有120+120=240种参赛方案。

四、逆向考虑法

对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题，我们就要学会间接的
方法。

正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?

A.70 B.64 C.61 D.58

【答案】D。

【解析】所求问题的方法数=任意选四点的组合数- 共面四点的方法

数，共C(8，4)-12=70-12=58个。

五、分类法

解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情
发 生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清
楚，不重不漏。

【例题3】五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同
的排法有

A.120种 B.96种 C.78种 D.72种

【答案】C。

【解析】由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1)若甲在末尾，剩
下四人可自由排，有A (4，4) =24种排法;2)若甲在第二，三，四位上，
则有3×3×3×2×1=54种排法，由分类计数原理 ，排法共有24+54=78种，
选C