排列组合难题二十一种方法(含答案详解)
马克思哲学-杂诗曹植
排列组合难题二十一种方法
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分
步与分类同时进行,确定
分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还
是组合(无序)问题,元素总数是多少及取
出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
C
3
1
1
然后排首位共有
C
4
最后排其它位置共有
A
4
3
131
113
CAC
由分步计数原理得
C
4
C
3
A
4
288
443
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在
中间,也不种在两端的
花盆里,问有多少不同的种法?
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解:可先将
甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元
素,再与其它元素进行排列,同
时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可
得共有
A
5
5
A2
2
A
2
2
480
种不同的排法
甲乙
丙丁
练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱
,舞蹈节目不能连续出场,则节目的
出场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和
3个独唱共有
A
5
第二步将4舞蹈插入第一步排
5
种,
4<
br>好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种
A
6
不同的方法,由分步计数原理,
节目
4
的不同顺序共有
A
5
5
A
6
种
练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.<
br>如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数
为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
1
<
/p>
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起<
br>进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同
3
排法种数是:
A
7
7
A
3
4
(空位法)设想
有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
7
种方法,其余的三个位
4置甲乙丙共有 1种坐法,则共有
A
7
种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
(插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有
方法
练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有<
br>5
多少排法.
C
10
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配
到车
间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有
7
6
种不同的排法
练习题:
1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如
果将
这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 42
2.某8层大楼一楼电梯上
来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
7
8
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解:围桌而坐与
坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人
A
4
4
并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!种排法即
7
!
C
D
E
F
G
H
B
A
AB
C
DEFG
HA
练习题:6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈. 120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排
前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
A
2
4
种,再排后4个位置上的特殊元素丙有
A
1
4
种,其余的5人在5个位置上
任意排列
215
有
A
5
5
种,则共有
A
4
A
4
A
5
种
前 排
后
排
2
练习题:有两排座位,前排11个座位,后排12
个座位,现安排2人就座规定前排中
间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数
是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装
法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
2
种方法.再把
4个元素(包含一个
复合元素)装入4个不同的盒内有
A
4
根据分步计数原理
装球的方法共有
4
种方法,
4
C
5
2
A
4
练习题:一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任
务,
每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其
中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之
间,这样的五位数有多少个?
解:把1,5,2,4当
作一个小集团与3排队共有
A
2
2
种排法,再排小集团内部共有
22
22
A
2
2
A
2
种排法,由分步计数原理共有
A<
br>2
A
2
A
2
种排法.
1524
3
练习题:
1.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画,
排成一行陈列,要
求同一品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为
54
A
2
2
A
5
A
4
55
2. 5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
A
2
2
A
5
A
5
种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?
解
:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在
9个空档中选6个位置插
个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,
每一种插板方法对应一种分法共有
C
9
6
种分法。
一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班
练习题:
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法?
C
9
4
3
2.
xyzw100
求这个方程组的自然数解的组数
C
103
十一.正难则反总体淘汰策略
3
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和
为不小于10的偶数,
不同的
取法有多少种?
解:这问题中如果直接求不小于
10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中
有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的
取法有
C
5
3
,只含有1个偶数的
12123
C
5
,和为偶数的取法共有
C
5
C
5
C
5
取
法有
C
5
。再淘汰和小于10的偶数共9种,符合
123
C
5
C
5
9
条件的取法共有
C
5
练
习题:我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在
内的抽法有多少种
?
十二.平均分组问题除法策略
例12.
6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?
解: 分三步取书得
C
6<
br>2
C
4
2
C
2
2
种方法,但这里出现重复计
数的现象,不妨记6本书为
ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(
AB,CD,EF),则
222
C
6
C
4
C
2中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(E
F,AB,CD)共
2223
有
A
3
3
种取法 ,而这些分
法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有
C
6
C
4
C
2
A
3
种分法。
练习题:
542
C
8
4
C
4
A
2
1.将13个球队分成3组,一组5个队,其
它两组4个队, 有多少分法?(
C
13
)
2.10名学生分成3组,其中一组4人,
另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少
种不同的分组方法 (1540)
3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入4名学生,要安排到该年级的两个班
2A
2
级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为______(
C
4<
br>2
C
2
2
A
62
90
)
十三.
合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演
出一个2人
唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解:10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标
准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
C
3
2
C
3
2
种,只会唱的5人中只有1人选
112
C
3
C
4
种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有
C
5
2
C
5
2
种,上唱歌人员
C
5
由分类
计数原理共有
11
2
C
3
C
4
C
5
2
C
5
2
种。
C
3
2
C
3
2
C
5
练习题:
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座
谈会,若这4人中必须既有男生
又有女生,则不同的选法共有34
2.
3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,
4
他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
(27)
本题还有如下分类标准:
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,
4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能
关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉
两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少
种?
解:把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的
5个空隙中插入3个不亮的灯有
C
5
3
种
练习题:某
排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法
有多少种?(120)
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,
4,5的五个盒子,现将5个球投入这
五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与
盒子的编号相同,
有多少投法
解:从5个球中取出2个与盒子对号有
C
5<
br>2
种还剩下3球3盒序号不能对应,利用实
际操作法,如果剩下3,4,5号球, 3,
4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球有
只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也
只有1种装法,由分步计数
原理有
2C
5
2
种
3号盒 4号盒 5号盒
练习题:
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四
张贺年
卡不同的分配方式有多少种? (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区
域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72
种
1
3
2
5
4
534
5
十六. 分解与合成策略
例16.
30030能被多少个不同的偶数整除
分析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13依题意
可
知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数为:
135C
5
C
5
2
C
5
C
5
4
C
5
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解:我
们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共
C
8
4
1258
,每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成
358174
对异面直线
十七.化归策略
例17.
25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的
选法有多少种? <
br>解:将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在
同一列,
有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列
111
C
2
C
1
种。再从5×5方阵选出都划掉,如此继续下去.从3×3方队中选3人的方
法有
C
3
3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列
有
C
5
3
C
5
3
选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在
同一
111
C
2
C
1
选法。
列的3人有
C
5
3
C
5
3
C
3
练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,
从A走到B的最
短路径有多少种?(
C
7
3
35
)
B
A
十八.数字排序问题查字典策略
例18.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数? 解:
N2A
5
5
2A
4
4
A
3
3
A
2
2
A
1
1
297
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数
字从小到大排列
起来,第71个数是 3140
十九.树图策略
例19.
3
人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传求后,球仍回到甲的
手中,则不同的传球方式有______
N10
6
练习: 分别编有1,2,3,4,5号码的人与椅
,其中
i
号人不坐
i
号椅(
i1,2,3,4,5
)的<
br>不同坐法有多少种?
N44
二十.复杂分类问题表格策略
例20
.有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,
要求各字母均有
且三色齐备,则共有多少种不同的取法
解:
红 1 1 1 2 2 3
黄 1 2 3 1 2 1
兰 3 2 1 2 1 1
11
121311
C
5
C
4
C
5
C
4
C
5
2
C
3
C
5
2
C
3
2
C
5
3
C
2
C
5
C
4
取法
二十一:住店法策略
解决“
允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重
复,把不能重复的元素看作
“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接
求解.
例21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数
有
.
分析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作7家“店”,五项冠军看作5名“客”,每个“客”有7种住宿法,由乘法原理得7
5
种.
7