惊弓之鸟课文-二年级下册期中试卷

.
排列组合

知识结构

一、 排列问题 < br>在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，
就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．
一 般地，从
n
个不同的元素中取出
m
(
mn
)个元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元
素中取出
m
个元素的一个排 列．
根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同． 如
果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的 排
列顺序不同，它们也是不同的排列．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从< br>n
个不同的元素中取出
m
(
mn
)个元素的所有排列的个数 ，叫做从
n
个不同的元素的排列中取出
m
个元素的排列数，我们把它记做P
n
m
．
根据排列的定义，做一个
m
元素的排列由
m
个步骤完成：
步骤
1
：从
n
个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有
n
种方法；
步骤
2
：从剩下的(
n1
)个元素中任取一个元素排 在第二位，有(
n1
)种方法；
……
步骤
m
：从剩下 的
[n(m1)]
个元素中任取一个元素排在第
m
个位置，有
n （m1）nm1
(种)
方法；
由乘法原理，从
n
个不同 元素中取出
m
个元素的排列数是
n（
，即
n1）（n2） （nm1）
P
n
m
（nn1）（.n2）（nm1）
，这里，
mn
，且等号右边从
n
开始，后面每个因数比前一个因数小1
，
共有
m
个因数相乘．

二、 排列数
n1）（n2）321
． 一般地，对于
mn
的情况，排 列数公式变为
P
n
n
n（
表示从
n
个不同元素中 取
n
个元素排成一列所构成排列的排列数．这种
n
个排列全部取出的排列，叫
做
n
个不同元素的全排列．式子右边是从
n
开始，后面每一个因数比 前一个因数小
1
，一直乘到
1
的乘积，
.

.
n1）（n2）
记为
n!
，读做n
的阶乘，则
P
n
n
还可以写为：
P
n
n
n!
，其中
n!n（321　
．
在排列问题中，有 时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将
这些物体当作一个整体捆 绑在一起进行计算．
三、 组合问题
日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把 参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参
加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的 组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分
组方法的问题．
一般地，从
n
个不同元素中取出
m
个(
mn
)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫 做从
n
个不
同元素中取出
m
个元素的一个组合．
从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素
完全 相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不
同的 组合．
从
n
个不同元素中取出
m
个元素(
mn
)的所有组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个不同元
m素的组合数．记作
C
n
．
一般地，求从
n
个不同元素 中取出的
m
个元素的排列数
P
n
m
可分成以下两步： m
第一步：从
n
个不同元素中取出
m
个元素组成一组，共有C
n
种方法；
m
第二步：将每一个组合中的
m
个元素进行全排列，共有
P
m
种排法．
mm
P
m
根据乘法原理，得到
P
n
m
 C
n
．
m
因此，组合数
C
n

P
n
m
m
P
m

n（n1）（n2)（nm 1）
．
m（m1）（m2）321
这个公式就是组合数公式．

四、 组合数的重要性质
mnm
C
n
一般地，组合 数有下面的重要性质：
C
n
(
mn
)
m
nm
这个公式的直观意义是：
C
n
表示从
n
个元素中取出
m
个元素组成一组的所有分组方法．
C
n
表示从
n
个元素 中取出(
nm
)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从
n
个元素中选出
m
个元素的分组方法
恰是从
n
个元素中选
m
个元素 剩下的(
nm
)个元素的分组方法．
32
C
5
例如， 从
5
人中选
3
人开会的方法和从
5
人中选出
2人不去开会的方法是一样多的，即
C
5
．
n0
1
，
C
n
1
． 规定
C
n
五、 插板法
一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总 数，使用插板法一般有三个要求：
①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③ 参与分物体的组至少都分到1
.

.
个物体，不能有没分到物体的组出现．
在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完 全相符，对此应当对已知条件进行适当的变
形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．
六、
使用插板法一般有如下三种类型：
⑴
m
个人分
n
个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的
m1
(n1)
个空隙中放上
(m1)
个插板，所以分法的数目为
C< br>n1
．
⑵
m
个人分
n
个东西，要求每个人至少 有
a
个．这个时候，我们先发给每个人
(a1)
个，还剩下
[n m(a1)]
个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为< br>m1
C
nm(a1)1
．
⑶
m
个人分< br>n
个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来
m
个东西，每个人多 发1个，这
m1
样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了
(nm)
个
，因此分法的数目为
C
nm1
．

例题精讲


一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类 不能重复，把不能重复
的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在 这类问题使用住店处理的
策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
【解析】：（1）
3
（2）
4
（3）
4

【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，
第二步 ：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有
7
种不同方 案.
38
AC
【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A、
8
B、
3
C、
8
D、
8

6
4
33
33
【解析】：冠军不能重复， 但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠
军看作3个“客”，他们都可能住 进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有
8
种
不同的结果。所以选A
二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

【例1】
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B必须相邻且
B
在
A
的右边，那么不同的排法种数有
4
A24
种
A,B
4
BA
【解析】：把视为一 人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，
3
【例2】（2009四川卷理）3位男生 和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3
位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，
.
2222
C3
A
2
A
4
A
2
=432
种

.

其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有288
三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的
相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
52
AA
56
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有 种，不同的排法种数是
52
A
5
A
6
3600
2 222
A
1
C
23
A
2
A
3
A< br>2
=144
种
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具
体数字作答）
【解析】：
【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
52
AA
6
＝3600
5
【解析】：不同排法的种数为
【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工
程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6
项工程的不同排法种数是
【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由 甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有
种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，
但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，
则该晚会的节目单的编排总数为 种.
【解析】：
【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
3
C
【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
5
种方
11
A
1
9
A
10
A
11
=99 0
11
A
1
7
A
8
A
9
=504
A
5
2
＝20
法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒
模型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【解析】： 解法 1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有
中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有
3
A
1
4
A
3
3
A
3
，○*○*○ *○，在四个空
1
A
4
种，所以每个人左右两边都空位的排法有
=24种.
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○* ○*再让3个人每人带一把椅
子去插空，于是有=24种.
【例8】 停车场划出一排12 个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方
法有多少种？
【解 析】：先排好8辆车有
8
A
8
3
A
4
种方法，要求 空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9
1
C
9
1
C9
8
A
8
个空档中任选一个，将空车位置插入有种方法，所以共有种方法 .
注：题中*表示元素，○表示空.
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元
素；再排其它的元素。
【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ） 高☆考♂资♀源€网 ☆
.

.

A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
C
1
C
1
A
3
24
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法
223
；若小张、小赵都入选，则有
22
AA12
，共有选法36种，选A.
23
选法
【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
1
4
A
A
4
3
【解析】： 老师在中间三个 位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有
14
A
3
A
4
72
23
A
3
A
3
36
种。.
【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【解析】 法一： 法二： 法三：
五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高☆考♂资♀源€网 ☆

【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（A） （B） （C） （D）
（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素排在后排，
有多少种不同排法？
6
A720
【解析】 ： （1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共
6
55
A
15
A
10
5553
A
15
A
10< br>A
5
A
3
15
A
15
5553
A< br>15
A
10
A
5
A
3
6
A
1
5
A
6
3600
25
A
6
A
5
3600
766
A
7
A
6
A
6
3600
种，选
C
. ☆

（2）答案：C < br>2
A
4
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1 个元素排在后半段的四个位置
125
15
A
4
A
4
A
5
5760
AA
45
中选一个有种，其余5个元素任排5个位置 上有种，故共有种排法.
五．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一 定的顺序，可用缩小倍数的
方法.
【例1】.
A,B,C,D,E
五人并排 站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B
可以不相邻） 那么不同的排
法种数是（ ） ☆

【解析】 ：
B< br>在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所以题设的 排法只是5个元素全排列数的一
1
5
A
5
60
2
半，即种
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法

1
9
A
9
3
6
A
A
【解析】 ：法一：
9
法二：
6

【例3】将A、 B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、
1
6
A
6
3
3
A
6
A
B、C允许不 相邻），有多少种不同的排法？ 【解析】 ：法一： 法二：
3

六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个
方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 ☆
.

.

【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填
入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9
种填法，选
B
.
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）
A 10种 B 20种 C 30种 D 60种
答案：B
【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，
则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有
3(12)9
种分配方式。 故选（B）
【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )

（A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种
答案：B
六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高☆考♂资♀源€网 ☆

分成1本、2本、3本三组；
分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
分成每组都是2本的三个组；
分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
分给5人每人至少1本。
222
211111
C
6
C4
C
2
C
5
C
5
C
4
C3
C
2
C
1
5
A
5
1231233< br>222
4
3
C
6
C
5
C
3
C
6
C
5
C
3
A
3
CCC
AA
4
3
【解析】 ：（1） （2） （3） （4）
642
（5）
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种
（用数字作答）．

211
C
4
C
2
C
1
2
A
2
【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成 三组，其分法有;
211
C
4
C
2
C
13
A
3
36
2
3
A
3
A
2
第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
311
C
5
C
2
C
1
3
A
3< br>2
A
2
【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2 ,2，则有＝60种，
若是1,1,3，

122
C
5
C
4
C
2
3
A
3
2
A
2
则有＝90种，所以共有150种，选A
【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）
.

.
A．70 B．140 C．280 D．840
答案 ：（ A ）
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有
（ ）
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种
【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5
12
C
5
C
4
15
2
A
2
名 教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，
3
15A90
种不同的分配方案，选B.
3
共有
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超
过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种 ☆

A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
33
C
4
2
C
3
2
A
2
2
C
4
A
3
362460
2,1,0,0
1,1, 1,0
【解析】：按条件项目可分配为与的结构，∴ 故选D；
【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
答案：
B
.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若 每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？
44
C
12
C
84
C
4
3
A
3
3
A
3
答案：

【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担
这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第
三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选
C
.
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发
建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
4
A
8
①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；
3
3
A
3A
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有
8
方法，所以共有
8
；
211
C
10
C
8
C
7
2520
3
3A
8
③若乙参加而甲不参加同理也有 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余
8人到另
33
2 2
A
8
4
3A
8
3A
8
7A
8
2
4088
A7A
88
两个城市有种，共有方法.所以共有不 同的派遣方法总数为种
【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
23
C A
44
【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每 次排3个有
23
C
4
A
4
144
种，故共有种.
七．相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3 的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编
号数，则有多少种不同的放法？
【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17
C120
种。 个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有
16

.
2

.
【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆
至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
6
C84
种
9
故共有不同的分配方案为

变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有
种
变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其
中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件
的关灯办法有 种
【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个
中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？

3
C
4
【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同
22
CC
34
的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空 挡中分别插入两个板。各有、、
C
5
2
种方法。
3222
CCCC
4345
3、由分步计数原理可得=720种
八．多面手问题（ 分类法---选定标准）
【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、
日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日
语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？

变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选 出8人,组成
两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
答案 ：

九．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）

【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级 台
阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；

2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；
3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有
1
C
6
6
431413423113
C
5
4< br>C
4
C
5
C
2
C
4
C
5
4
C
2
C
4
C
5
2
C
4
C
5
4
C
4
C
5
C
2< br>C
1
C
4
种
（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨 着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有种
走法。
4）有3次（不可能）

5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中 ，
同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种走法；
6）有5次（不可能）
故总共有：1+6+15+15=37种。
变式：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )
（A）34种 （B）55种 （C）89种 （D）144种 答案： （C）
十．排数问题（注意数字“0”）
.
1
C
5
C
5
2
15
C
6
2
15

.

【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小 于十位数字的共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
5
A
5
【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，

A
4A
3
A
3
,A
3
A
3
A
3< br>,A
2
A
3
A
3
,A
3
A
3
个，合并总计300个,选
B
.
（2）从1，2，3，…，100这10 0个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
【解析】 ：将
I

1,2,3,100

B

1,5,9,
99

分成四个不相交的子集，能被4整除的数集
，能被4除余2的数集
A
4,8,12,100

；能被
4除余1的数集
97

C

2,6,,98

，能被4除余3的数集
D
3,7,11,
，易见这四个集合中每一个有25个元素；从
A
中任取 两个数符合要；从
B,D
中各取
一个数也符合要求；从
C
中任取两个 数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共
有种.
十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥
S ABCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5
种颜色可供使用， 那么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B 、C、D
四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。
(2)若恰用四种颜色染色 ，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染
A与B，由于A、B颜 色可以交换，故有
5
A
5
120
2112
C
25
C
25
C
25
C
25
12
C
5
A
4
60
A
4
2
种染法；再从余下的两种颜色 中任选一种染D或C，而D与C，
1211
C
5
A
4
C2
C
2
240
而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种 方法。
(3)若恰用五种颜色染色，有种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.
【 解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有
54360
种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；
C与A不 同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有
13227种
染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是
607420

【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，

对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
总体实施分步完成,可分为四大步:
①给S涂色有5种方法;
②给A涂色有4种方法(与S不同色);
③给B涂色有3种方法(与A,S不同色);
④给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法; 当C与A同色时,C有一种涂色方法( 与A同色),D有
3种涂色方法.给C,D涂色共有2×2+3=7种方法.
由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法
[规律小结] 涂色问题的常用方法有： （1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色
分类讨论;（3）将空间问题平 面化，转化成平面区域涂色问题。
十二．“至多”“至少”问题用间接法或分类:
十三． 几何中的排列组合问题:
.

.
xy
1
22
xy100
有公共点，且公共点的横坐标和纵
a，b
ab
【例1 】 已知直线（是非零常数）与圆
坐标均为整数，那么这样的直线共有 条
【解析】： 圆上的整点有：
(6,8) ,(8,6),(10,0),(010)
12 个
其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有
其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60
答案:60





【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？





【例 1】 将A、B、C、D、E、F、G七 位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有多
少种不同的排列方法？





【巩固】 6名小朋友
A、B、C、D、E、F< br>站成一排，若
A，B
两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？
若
A、 B
两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？





【例 2】 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排， 如果
同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排
法？




.
2
C
12
=66C
1
12
=12
，

.

【巩固】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整 个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：
如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种 不同的出场顺序？





【例 3】 8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？





【巩固】 a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？









【例 4】 一台晚会上有
6
个演唱节目和
4
个舞蹈节目．求：
⑴当
4
个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？
⑵当要求 每
2
个舞蹈节目之间至少安排
1
个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的 顺序？





【巩固】 由
4
个不 同的独唱节目和
3
个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开
始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？



.

.


【例 5】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？





【巩固】 小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？





【巩固】 有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．





【例 6】 10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？




【巩固】 将
13
个相同的苹果放到
3个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。





【例 7】 把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？





【巩固】 三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校
.

.
演出节目数的不同情况共有多少种？





【例 8】 (1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?
(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?





【巩固】 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？





【例 9】 马路上有编号为
1
，
2
，
3
，…，
10
的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只
灯关掉，但又 不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯
方法有多少种？



【巩固】 学校新修建的一条道路上有
12
盏路灯， 为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中
2
盏
灯，但两端的灯不能熄灭，也 不能熄灭相邻的
2
盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？





【例 10】 在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？





.

.
【巩固】 大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？





【例 11】 所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？





【巩固】 从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？










课堂检测

【随练1】 某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员 有
4
人，全组同学站成一排，要求女
少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这 样的排法有多少种？





【随练2】 把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法？



.

.


【随练3】 在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？





家庭作业

【作业1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。





【作业2】 学校合唱团要从
6
个班中补 充
8
名同学，每个班至少
1
名，共有多少种抽调方法？




【作业3】 能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。





【作业4】 学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：
（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？
（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？





【作业5】 由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．
.

.





【作业6】 停车 站划出一排
12
个停车位置，今有
8
辆不同的车需要停放，若要求剩余的4
个空车位连在一
起，一共有多少种不同的停车方案?
















教学反馈

学生对本次课的评价

○特别满意 ○满意 ○一般

家长意见及建议


家长签字：

.

.


.