摩托车市场-培训班总结

[隔板法解排列组合问题]解读隔板法
[隔板法解排列组合问题]解读隔板法 篇一 : 解读隔板法
隔板法就是在n个元素间的个空中插入 k个板，可以把n个元素分成k+1组的
方法。 应用隔板法必须满足3个条件:
这n个元素必须互不相异
所分成的每一组至少分得1个元素
分成的组别彼此相异
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策 略;能运用解题策略解决简单的综合应用
题。提高学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
复习巩固
1.分类计数原理
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办
法中有
m2种不同的方
法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:
种不同的方法(
2.分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步 有m1种不同的方法，做第2步有
m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件 事共有:
种不同的方法(

3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整
个事件(
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步
与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少
个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题
策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1 先排末位共有C3
1 然后排首位共有C4
3 最后排其它位置共有A4
113 由分步计数原理得C4C3A4?288
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花 不种在中间，也不种
在两端的花盆里，问有
多少不同的种法,
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同 时丙丁也看成一个
复合元素，再与其它元
522素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排 。由分步计数原理可得共有
A5A2A2?480种不同的排法
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3
枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场,
则节目的出场顺序有多
少种,
解:分两步进行第一 步排2个相声和3个独唱共有A5第二步将4舞蹈插入第一
步排好的6个元素5种，
44中间包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同
顺序共有A5
5A6
种
新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与
其他元素一起进行排列,然后
3用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:A7
7A3

4 设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位
置甲乙丙共有
41种坐法，则共有A7种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
～种排法即7～
86
ABCDEFGHA
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有!种排法.如果从n个不同元素中取出m
个元素作圆 1m 形排列共有An n
练习题:6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素
有A2
4种,再排后4
5215个位置上的特殊元素丙有A1
4种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,则共有
A4A4A5
种
前 排后 排
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
练习题:有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定
前排中间的3个座位不
能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不
同的装法.
2解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C5种方法.再把4个元素装
24入4个不同的盒内有A4
4种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C5A4 < br>练习题:一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的
任务,每人完成一 种任
务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹1,,在两个
奇数之间,这样的五位
数有多少个,
2解:把,,,,,,,当作一个小集团与,排队共有A2再排小集团内部共有A2
2种排法，2A2种排法，
22由分步计数原理共有A2A22A2种排法.
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
练习题:
,.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,,幅油画,,幅国画, 排成一行陈列,
要求同一
54品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
A2A25A4
552. 5男生和,女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有A2
2A5A5种 十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案, < br>解:因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成,个空隙。
在,个空档中选,
个位置插个隔板，可把名额分成,份，对应地分给,个班级，每一种插板方法对
应一种分法
6共有C9种分法。
二班三
班
六班七班
将n个相同的元素分成m份,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板， m?1
插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cn?1
练习题:
4
1( 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法, C9
32 .x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数 C103
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10< br>的偶数,不同的
取法有多少种,
解:这问题中如果直接求不小于10的偶数很困 难,可用总体淘汰法。这十个数
字中有5个偶数5
312

个奇 数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有
C5C5,和为偶数的取123 123法共有C5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件
的取法共有C5C5?C5C5?C5? 9
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先
求出
它的反面,再从整体中淘汰.
练习题:我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有
一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法,
222
解: 分三步取书得C6C4C2种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书
为ABCDEF，若第一
222
步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为,则C6C4C2中还有
,,,共有A33种取法 ,而这些分法仅
222是一种分法,故共有C6C4C2A33种分法。
n
平均分成的组,不 管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
An避免重复计数。 练习题:
542
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法,
C84C4A2

2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,
有多少种不同的 分组方法
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的
两个班级且每班安
222
排2名，则不同的安排方案种数为______
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出
一个2人唱歌2人伴 舞
的节目,有多少选派方法
解:10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员
为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C3C3种,只会唱的5人中只有1人选
上唱歌人员
112C5C3C4种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C52C52种，由分类计
数 原理共有
22
2211222 C3C3?C5C3C4?C5C5种。
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连
续过程分步，做 到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯
穿于解题过程的始终。
练习题:
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有
男生又有女生，则不同的选法共有34

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能
乘1人,他们任选2只船
或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
本题还有如下分类标准:
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2, 3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,
但不能关掉相邻的2
盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种,
3解:把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
C5 种
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3 ,4,5的五个盒子,现将5个球
投入这五个盒子内,要
求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投
法
2 解:从5个球中取出2个与盒子对号有C5种还剩下3球3盒序号不能对应，
利用实际操作法，如
果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装
法，同理3号
2球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C5种

号盒 5号盒
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或
画出树状图会收 到意想不到的结果
练习题:
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人 各拿一张别人的贺年
卡，则四张贺年卡不同的
分配方式有多少种,
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7
×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
12345所有的偶因数为:C5 ?C5?C5?C5?C5
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
4解:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C8?12?58,每个四面
体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3?58?174对异面直线
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,
不同的选法有多少种,
解:将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行
也不在同一列 ,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人
所在的行列都划掉，如

111此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有C3再从5×5方阵选出3×3方
阵便可C2C1种。
33解决问题.从5×5方队中选取3行3列有C5C5选法所以从5×5方阵 选不在
同一行也不在
33111同一列的3人有C5C5C3C2C1选法。
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决
这个简要的问题的解决找到 解题方法，从而进下一步解决原来的问题 练习题:某城
市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表 示马路，从A走到B的最短路径有
多少
3种,
B
A
十八.数字排序问题查字典策略
例18(由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少 个没有重复的比324105大
的数,
54321解:N?2A5?2A4?A3?A2?A1?297
练习:用0,1,2,3 ,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到
大排列起来,第71个数
是 3140
十九.树图策略
例19(3人相互传球,由甲开始发球,并作为 第一次传球,经过5次传求后,球仍
回到甲的手中,则不同
的传球方式有______ N?10

练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅的不同
坐法有
多少种,N?44
二十.复杂分类问题表格策略
例20(有红、黄、兰色的球 各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中
取5只,要求各字母均
有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
解:
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常
出现重复遗
漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效
小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合
历来是学习中的难点， 通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条
件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数 字庞大，难以验证。同学们只有对基
本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技 巧来解决问题.
对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单
化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
篇三 : 排列组合的二十种解法
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办
法中有
m2种不同的方

法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:
种不同的方法(
2.分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步 有m1种不同的方法，做第2步有
m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件 事共有:
种不同的方法(
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整
个事件(
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步
与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少
个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题
策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1 先排末位共有C3
1 然后排首位共有C4
3 最后排其它位置共有A4
113 由分步计数原理得C4C3A4?288

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆 里,若两种葵花不种在中间，也不种
在两端的花盆里，问有
多少不同的种法,
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一 个
复合元素，再与其它元
522素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原 理可得共有
A5A2A2?480种不同的排法
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3
枪连在一起的情形的不同种数为 20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场,
则节目的出场顺序有多
少种,
解:分两步进行第一 步排2个相声和3个独唱共有A5第二步将4舞蹈插入第一
步排好的6个元素5种，
44中间包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同
顺序共有A5
5A6
种
新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与
其他元素一起进行排列,然后
3用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:A7
7A3
4 设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位
置甲乙丙共有
41种坐法，则共有A7种方法。,]
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
～种排法即7～
86
ABCDEFGHA
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有!种排法.如果从n个不同元素中取出m
个元素作圆 1m 形排列共有An n
练习题:6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素
有A2
4种,再排后4
5215个位置上的特殊元素丙有A1
4种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,则共有
A4A4A5
种
前 排后 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
练习题: 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定
前排中间的3个座位不
能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不
同的装法.
2解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C5种方法.再把4个元素装
24入4个不同的盒内有A4
4种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C5A4 < br>练习题:一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的
任务,每人完成一 种任
务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹1,,在两个
奇数之间,这样的五位
数有多少个,
2解:把,,,,,,,当作一个小集团与,排队共有A2再排小集团内部共有A2
2种排法，2A2种排法，
22由分步计数原理共有A2A22A2种排法.
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。,)
练习题:
,.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,,幅油画,,幅国画, 排成一行陈列,
要求同一

54品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端， 那么共有陈列方式的种数为
A2A25A4
552. 5男生和,女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排
法有A2
2A5A5种 十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案,
解:因为 10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成,个空隙。
在,个空档中选,
个位置插个隔板，可把名额分成,份，对应地分给,个班级，每一种插板方法对
应一种分法
6共有C9种分法。
二班三
班
六班七班
将n个相同的元素分成m份,每份至少一个元素,可以用m-1块
隔板， m?1
插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cn?1
练习题:
4
1( 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法, C9
32 .x?y?z?w?100求这个方程组的自然数解的组数 C103
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10< br>的偶数,不同的

取法有多少种,
解:这问题中如果直接求不小于 10的偶数很困难,可用总体淘汰法。[,这十个
数字中有5个偶数5
312
个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有
C5C5,和为偶数的取1 23123法共有C5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件
的取法共有C5C5?C5C5?C 5?9
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先
求出
它的反面,再从整体中淘汰.
练习题:我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有
一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法,
222
解: 分三步取书得C6C4C2种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书
为ABCDEF，若第一
222
步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为,则C6C4C2中还有
,,,共有A33种取法 ,而这些分法仅
222是一种分法,故共有C6C4C2A33种分法。
n

平 均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
An避免重复计数。 练习题:
542
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法,
C84C4A2
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,
有多少种不同的 分组方法
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的
两个班级且每班安
222
排2名，则不同的安排方案种数为______
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出
一个2人唱歌2人伴 舞
的节目,有多少选派方法
解:10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员
为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C3C3种,只会唱的5人中只有1人选
上唱歌人员
112C5C3C4种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有C52C52种，由分类计
数 原理共有
22
2211222 C3C3?C5C3C4?C5C5种。,,

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连
续过程 分步，做 到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯
穿于解题过程的始终。
练习题:
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有
男生又有女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能
乘1人,他们任选2只船
或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
本题还有如下分类标准:
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2, 3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,
但不能关掉相邻的2
盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种,
3解:把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
C5 种
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3 ,4,5的五个盒子,现将5个球
投入这五个盒子内,要

求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投
法
2解:从5个球中取出2个与盒子对号有C5种还剩下3球3
盒序号不能对应，利用实际操作法，如
果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装
法，同理3号
2球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C5种
号盒 5号盒
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或
画出树状图会收 到意想不到的结果
练习题:
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人 各拿一张别人的贺年
卡，则四张贺年卡不同的
分配方式有多少种,
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7
×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
12345所有的偶因数为:C5 ?C5?C5?C5?C5
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
4解:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共
C8?12?58,每个四面体有

3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3?58?174对异面直线
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,
不同的选法有多少种,
解:将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行
也不在同一列 ,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人
所在的行列都划掉，如
111此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有C3再从5×5方阵选出3×3方
阵便可C2C1 种。[)
33解决问题.从5×5方队中选取3行3列有C5C5选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在
33111同一列的3人有C5C5C3C2C1选法。
处理复杂的 排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决
这个简要的问题的解决找到解题方法， 从而进下一步解决原来的问题 练习题:某城
市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从 A走到B的最短路径有
多少
3种,
B
A
十八.数字排序问题查字典策略
例18(由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少 个没有重复的比324105大
的数,
54321解:N?2A5?2A4?A3?A2?A1?297

练习:用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到
大排列起来,第71个 数
是 3140
十九.树图策略
例19(3人相互传球,由甲开始发球, 并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍
回到甲的手中,则不同
的传球方式有______ N?10
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅的不同
坐法有
多少种,N?44
二十.复杂分类问题表格策略
例20(有红、黄、兰色的球 各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中
取5只,要求各字母均
有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
解:
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗
漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效
小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。(]排列组
合历来是学习中的难 点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是
条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特 ，数字庞大，难以验证。同学们只有对
基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同 的技巧来解决问
题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。