民事诉讼案例-南平红荔

高考数学复习 解排列组合题的21种策略
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际 生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌
握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用， 是解决排列组合应用题的有效
途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻且
B
在
A
的右边，那么不同的排法
种数有
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
1.解析：把
A,B
视为 一人，且
B
固定在
A
的右边，则本题相当于4人的全排列，
A
4
24
种，答案：
D
.

2.相离问题插空法:元素 相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把
规定的相离的几个元素插入上述几个 元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
2.解析：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
种，再用甲乙去插6个空位有< br>A
6
种，不同的排
法种数是
A
5
A
6
3600
种，选
B
.

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限 制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方
法.
例3.
A,B,C,D, E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B< br>可以不相邻）那么不
同的排法种数是
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
3.解析：
B
在
A
的右边与< br>B
在
A
的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排
列数的一 半，即
52
52
4

1
5
A
5
60
种，选
B
.
2

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入， 第二步再排另
一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4.将数字1，2，3，4填入标 号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格
的标号与所填数字均不相同的填法有
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
4.解析：先 把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填
入其它三个方格，又有三种 方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3
×1=9种填法，选
B
.

5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承 担，从10人中选出4人承担
这三项任务，不同的选法种数是
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
（2）12名同学分别到三个 不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案
有
A、
CCC
4
12
4
8
4
4
种 B、
44
C
12
C
8
4
C
4
3C CC
种 C、
CCA
种 D、种
3
A
3
4
12
4
8
4
4
4
12
48
3
3
5.解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人 承担乙项任务，
第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
C
10< br>C
8
C
7
2520
种，选
C
.
6.答案：
A
.

6.全员分配问题分组法:
例6.（ 1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有
多少种？
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
2 3
211
7.解析：把四名学生分成3组有
C
4
种方法，再把三组学 生分配到三所学校有
A
3
种，故
共有
C
4
A
3
36
种方法.
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
8.答案：
B
.

7.名额分配问题隔板法:
例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
9.解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每
堆至少一个 ，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配
方案，故共有不同的分配方 案为
C
9
84
种.

8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，
其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
10.解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲 乙都不参加，则有派遣方案
A
8
种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，< br>然后安排其余学生有
A
8
方法，所以共有
3A
8
；③ 若乙参加而甲不参加同理也有
3A
8
种；


333
4
6
23

④若甲乙都参加，则先安 排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有
A
8
种，共有
7 A
8
方法.所以共有不同的派遣方法总数为
A
8
3A
8< br>3A
8
7A
8
4088
种.

24332
2

9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果 要求分成不相容的几类情况分别
计数，最后总计.
例9.（1）由数字0，1，2，3，4， 5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数
字的共有
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
（2）从1，2，3…，100这1 00个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的
取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）
有多少种？
11.解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有
A
5
、
A
4
A
3
A
3
、
11311313
A
3
A
3
A
3
、
A< br>2
A
3
A
3
和
A
3
A
3< br>个，合并总计300个,选
B
.
5113
12.解析：被取的两个数 中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这
100个数组成的集合视为全集I,能被7 整除的数的集合记做
A

7,14,21,
14个元素,不能被7整除的数 组成的集合记做
ð
I
A

1,2,3,4,
2
9 8

共有
,100

共有86个元素；
由此可知，从
A
中任取2个元素的取法有
C
14
，从
A
中任取一个，又 从
ð
I
A
中任取一个
共有
C
14
C
86
，两种情形共符合要求的取法有
C
14
C
14
C< br>86
1295
种.
13.解析：将
I

1,2 ,3
11211
,100

分成四个不相交的子集，能被4整除的数集
97

，能被4除余2的数集
A

4,8,12,100

；能被4除余1的数集
B

1,5,9,
C
2,6,
能被4除余3的数集
D

3,7,11,,98
< br>，易见这四个集合中每一个
99

，
有25个元素；从
A中任取两个数符合要；从
B,D
中各取一个数也符合要求；从
C
中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有
2112
C< br>25
C
25
C
25
C
25
种.

10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式

n(AB)n(A)n(B)n(AB)
. 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，
共 有多少种不同的参赛方案？
14,解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒 的排列｝，B=｛乙跑第
四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
433 2
n(I)n(A)n(B)n(AB)
A
6
A
5A
5
A
4
252
种.

11.定位问 题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的
元素。
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
15.
A
3
A
4
72
种.

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.
例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元
素排在后排 ，有多少种不同排法？
16.解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共
种，选
C
.
17.解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2 个，有
A
4
种，某1个元素
排在后半段的四个位置中选一个有
A4
种，其余5个元素任排5个位置上有
A
5
种，故共
有
A
4
A
4
A
5
5760
种排法.

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.
例13 .从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不
同的取法共有
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
18. 解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电
视机，故不同的取法 共有
C
9
C
4
C
5
70
种,选.< br>C

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型 2台
乙型1台；故不同的取法有
C
5
C
4
C
5< br>C
4
70
台,选
C
.
14.选排问题先取后排: 从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可
用先取后排法.


2112
333
125
15
2
14

例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一 个空盒的放法有多少种？
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练， 有多少种不同的
分组方法？
2
19.解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各 一个球的方法有
C
4
种，“再排”在四
个盒中每次排3个有
A
4
种，故共有
C
4
A
4
144
种.
20.解析：先取男女运动员各2名，有
C
5
C
4
种，这四名运动员 混和双打练习有
A
2
中排
法，故共有
C
5
C
4
A
2
120
种.

15.部分合条件问题排除法: 在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合
条件数，即为所求.
例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
222
222
323
21.解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C
8
四面体，但6个表面和6
个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四 面体实际共有
C
8
1258
个.
22.解析：10个点中任取 4个点共有
C
10
种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体
的四个面上， 每面内四点共面的情况为
C
6
，四个面共有
4C
6
个；②过 空间四边形各边
中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面< br>的情况的种数是
C
10
4C
6
36141
种 .


44
44
4
4
4
16.圆排问题 线排法:把
n
个不同元素放在圆周
n
个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺 时钟）
不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列
n
个普通排列：
a1
,a
2
,a
3
,a
n
;a
2
,a
3
,a
4
,,a
n
,;a
n
,a< br>1
,,a
n1
在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，
故认为相 同，
n
个元素的圆排列数有
n!
种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的
n1
元
n
素全排列.
例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？