排列组合21种模型
合同义务-公共关系学论文
排列组合21种模型
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素
参与排列.
例1.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排,如果
A,B
必须相邻
且
B
在
A
的右边,那么
不同的排法种数有
A、60种
B、48种 C、36种 D、24种
解析:把
A,B
视为一人
,且
B
固定在
A
的右边,则本题相当于4人的全排列,
4
A
4
24
种,答案:
D
.
2.相离问题插空排:元素相离
(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素
全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素
的空位和两端.
例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
52
解析:除甲乙外,其余5个排列数为
A
5
种,再用甲乙去插6个
空位有
A
6
种,不
52
同的排法种数是
A
5
A
6
3600
种,选
B
.
3.定序问题缩倍法:在排
列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩
小倍数的方法.
例3.
A,B
,C,D,E
五人并排站成一排,如果
B
必须站在
A
的右边(
A,B
可以不相
邻)那么不同的排法种数是
A、24种 B、60种
C、90种 D、120种
解析:
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素
全排列数的一半,
即
1
5
A
5
60
种,选
B
.
2
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,
第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
例4.将数字1,2,3,4填入标号为
1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,
则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
解析:先把1
填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对
应数字填入其它三个方格,又有三种方法
;第三步填余下的两个数字,只有一种
填法,共有3×3×1=9种填法,选
B
.
5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组
法.
例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中
选出4人承担这三项
任务,不同的选法种数是
A、1260种 B、2025种 C、2520种
D、5040种
解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项
任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有
211
C
10<
br>C
8
C
7
2520
种,选
C
.
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不
同的分配方案有 44
C
12
C
8
4
C
4
A、
CCC
种 B、
3CCC
种 C、
CCA
种
D、种
3
A
3
4
12
4
8
4
4
4
12
4
8
4
4
4
12
4
8
3
3
答案:
A
.
6.全员分配问题分组法:
例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同
的保送方案有多少种
?
23
解析:把四名学生分成3组有
C
4
种方法,
再把三组学生分配到三所学校有
A
3
种,
23
故共有
C4
A
3
36
种方法.
说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数
为A、480种
B、240种 C、120种 D、96种
答案:
B
.
7.名额分配问题隔板法:
例7.10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同
分配方案?
解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7
堆,每堆至少
一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法
6
对应着一种分配方案,故共
有不同的分配方案为
C
9
84
种.
8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西
部四城市参加中国西部
经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
①若甲乙都不
参加,则有派遣方案
A
8
4
种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3
33
种方法,然后安排其余学生有
A
8
方法,所以共有
3A
8
;③若乙参加而甲不参加同
3
理也有
3A
8
种;④若甲
乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余
8人到另外两个城市有
A
8<
br>2
种,共有
7A
8
2
方法.所以共有不同的派遣方法总数为<
br>4332
A
8
3A
8
3A
8
7A8
4088
种.
9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果
要求分成不相容的几
类情况分别计数,最后总计.
例9.(1)由数字0,1
,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数
字小于十位数字的共有
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
5113
解析:按题意,个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况,分别有
A
5
、
A
4
A
3
A
3
、
11311
313
A
3
A
3
A
3
、
A
2A
3
A
3
和
A
3
A
3
个,合
并总计300个,选
B
.
(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个
数,使它们的乘积能被7整
除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
解析:被取的两个
数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,
将这100个数组成的集合视为全集I,能被
7整除的数的集合记做
A
7,14,21,
ð
I
A<
br>
1,2,3,4,
98
共有14个元素,不能被7整除的数组成的
集合记做
,100
共有86个元素;由此可知,从
A
中任取2个元
素的取法有
2
11
,从
A
中任取一个,又从
ð
I<
br>A
中任取一个共有
C
14
,两种情形共符合要求的
C
14
C
86
211
取法有
C
14
C
14
C
86
1295
种.
(3)从1,2,3,…,100这100
个数中任取两个数,使其和能被4整除的取
法(不计顺序)有多少种?
解析:将
I
1,2,3,100
分成四个不相交的子集,能被4整除的数集
A
4,8,12,100
;能被4除余1的数集
B
1,5,9,97
,能被4除余2的数
集
C
2,6,,98
,能被4除余3的数集
D
3,7,11,9
9
,易见这四个集合中
每一个有25个元素;从
A
中任取两个数符
合要;从
B,D
中各取一个数也符合要
求;从
C
中任取两个数也符合
要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求
2112
的取法共有
C
25
种.
C
25
C
25
C
25
<
br>10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素
个数公式
n(AB)n(A)n(B)n(AB)
.
例10.从6名运动员中选出4人参加4
×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不
跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?
解析:
设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B=
{乙跑第四棒的排列},根
据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
4332
n(I)n(A)n(B)n(A
B)
A
6
A
5
A
5
A
4
252
种.
11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个
元素;
再排其它的元素。
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两
端则有不同的
排法有多少种?
14
解析:老师在中间三个位置上选一个有
A
3
种,4名同学在其余4个位置上有
A
4
种
14
方
法;所以共有
A
3
A
4
72
种.
12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理.
例12.(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数
是
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
解析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,
6
共
A
6
720
种,选
C
.
(2)8个不同的元素排成前后两
排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前
排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
2
解析:看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有
A
4
种,某
1个
1
元素排在后半段的四个位置中选一个有
A
4
种
,其余5个元素任排5个位置上有
125
5
种,故共有
A
4
A
4
A
5
5760
种排法.
A
5
13
.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.
例13.从4台甲型
和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机
各一台,则不同的取法共有
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
解析1
:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号
333
的电视机,故不
同的取法共有
C
9
C
4
C
5
70
种
,选.
C
解析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2
台;
2112
甲型2台乙型1台;故不同的取法有
C
5
C
4
C
5
C
4
70
台,选
C
.
14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的
位置上,可用先取后
排法.
例14.(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的
放法有多少种?
2
解析:“先取”四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有
C
4
种,“再排”在四个
23
3
盒中每次排3个有
A
4
种,故共有
C
4
A
4
144
种.
(
2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有
多少种不同的分组方法?
2
2
解析:先取男女运动员各2名,有
C
5
2
C<
br>4
种,这四名运动员混和双打练习有
A
2
中
222
排
法,故共有
C
5
C
4
A
2
120
种.
15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中
减去不符合
条件数,即为所求.
例15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种
解析:正
方体8个顶点从中每次取四点,理论上可构成
C
8
4
四面体,但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有
C
8
41258
个.
(2)四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取
法共有
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
4
解析:10个点中任取4个点共有
C
10
种,其中四点共面的有三种情况:
①在四面
44
体的四个面上,每面内四点共面的情况为
C
6
,四个面
共有
4C
6
个;②过空间四
边形各边中点的平行四边形共3个;③过棱上三点
与对棱中点的三角形共6个.
44
所以四点不共面的情况的种数是
C
104C
6
36141
种.
16.圆排问题线排法:把
n
个不同元素放在圆周
n
个无编号位置上的排列,顺序(例
如按顺时钟)不同的
排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)
的排法认为是相同的,它与普通排列的区别
在于只计顺序而首位、末位之分,下
列
n
个普通排列:
a
1
,a
2
,a
3
,a
n
;a
2
,a
3
,a
4
,,a
n
,;a
n
,a
1
,,a
n1
在圆排列中只算一
n!
种.因此可将
n
种,
因为旋转后可以重合,故认为相同,
n
个元素的圆排列数有
某个元素固定展成线排,其
它的
n1
元素全排列.
例16.5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?
4
解析:首先
可让5位姐姐站成一圈,属圆排列有
A
4
种,然后在让插入其间,每
位均可插
入其姐姐的左边和右边,有2种方式,故不同的安排方式
242
5
768
种
不同站法.
说明:从
n
个不同元素中取出
m个元素作圆形排列共有
1
m
A
n
种不同排法.
m17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不
受位置的约束,
可逐一安排元素的位置,一般地
n
个不同元素排在
m
个不同位置
的排
列数有
m
n
种方法.
例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
解析:完成此事共分6步,
第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方
案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同
方案,依次类推,由分步
计数原理知共有
7
6
种不同方案.
18.复杂排列组合问题构造模型法:
例18.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,
现要关掉其中的三盏,但不能
关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有
多少
种?
解析:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的
3
灯
C
5
种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明:一
些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队
模型,装盒模型可使问题容易解决
.
19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19.设有编号为1,2,3,
4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现
将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,
并且恰好有两个球的号码与
盒子号码相同,问有多少种不同的方法?
解析:从5个球中取出2
个与盒子对号有
C
5
2
种,还剩下3个球与3个盒子序号
不能对应,
利用枚举法分析,如果剩下3,4,5号球与3,4,5号盒子时,3
号球不能装入3号
盒子,当3号球装入4号盒子时,4,5号球只有1种装法,
3号球装入5号盒子时,4,5号球也只有
1种装法,所以剩下三球只有2种装
2
法,因此总共装法数为
2C
5
20
种.
20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20.(1)30030能被多少个不同偶数整除?
解析:先把30030分解成质因数的
形式:30030=2×3×5×7×11×13;依题意偶因
数2必取,3,5,7,11,13这5
个因数中任取若干个组成成积,所有的偶因
数为
012345
C
5
C
5
C
5
C
5
C
5
C
5
32
个.
(2)正方体8个顶点可连成多少队异面直线?
解析:因为
四面体中仅有3对异面直线,可将问题分解成正方体的8个顶点可
构成多少个不同的四面体,从正方体8
个顶点中任取四个顶点构成的四面体有
C
8
4
1258
个,所以
8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.
21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗
透的一种重要的解题方法,它可以
将复杂的问题转化为简单问题处理.
例21.(1)圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少
个? 解析:因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四
边形就对应着两条弦
相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的10个
4
点可以确定多少个不同的四边形,
显然有
C
10
个,所以圆周上有10点,以这些
4
点为端点的弦相交
于圆内的交点有
C
10
个.
(1) 某城市的街区有12个全等的矩形组成
,其中实线表示马路,从
A
到
B
的
最短路径有多少种
?
解析:可将图中矩形的一边叫一小段,从
A
到
B
最短路线必须走
7小段,其中:
向东4段,向北3段;而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走过4
4
段的走法,便能确定路径,因此不同走法有
C
7
种.
B
A