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应用统计中的数列与排列组合问题

内 容：

学习 概率统计要用到高中时学过的数列与排列组合的基本知识，更重要的是
要用到数列与排列组合的思维方法 ，因此将其内容归纳总结如下：

一、数列
1、等差数列的通项公式是
a
n
a
1
(n1)d

前n项和公式是：
S< br>n

n(a
1
a
n
)
1
na< br>1
n(n1)d

22
2、等比数列的通项公式是
an
a
1
q
n1


na
1
(q1)

前n项和公式是：
S
n


a1
(1q
n
)

(q1)


1 q
3、当等比数列
{a
n
}
的公比
q
满足
|q|1
时，
limS
n
S
n
a
1< br>。一般地，如
1q
果无穷数列
{a
n
}
的前n项和 的极限
limS
n
存在，就把这个极限称为这个数列的各
n
项和 （或所有项的和），用
S
表示，即
SlimS
n
。
n

二、排列组合
1、加法原理
(1)简单的加法原理。若 完成一件事，有两类不同的方法。在第一类办法中
有
m
种方法，在第二类办法中有n
种办法，两类办法中每一种方法都能完成这件
事，则完成这件事共有
mn种不同的方法。
(2)较复杂的加法原理。完成一件事情共有r类方式，其中第1类方式有
m
1
种
方法，第2类方式有
m
2
种方法，……第r类方式 有
m
r
种方法，则完成这件事情
共有
m
1
m2
m
r
种方法。
例：在读书活动中，一个学生要从2本科技书、 3本故事书、4本文艺书里
任选一本，共有多少种不同的选法？
解答：共有2+3+4=9种不同的选法
2、乘法原理
(1)简单的乘法原理。完 成一件事，必须通过两个步骤。第一步骤有
m
种方
法，第二步骤有
n
种方法，则完成这件事共有
mn
种不同的方法。

(2)较复杂的乘法 原理。完成一件事情必须依次经过

个步骤，其中第1个
步骤有
n
1
种方法，第2个步骤有
n
2
种方法，……第

个步骤有n
l
种方法，则完成
这件事情共有
n
1
n
2< br>n
l
种方法。
例：乘积
(ab)(xyz)
展开后共有多少项？
解答：展开后共有
236
项
3、排列
（一）相关定义 有时我们要从许多对象中抽取一部分，这每个对象都被称为元素。将抽出的
元素排成一排，就是排列 问题。具体又分为以下两类：
(1)有重复的排列。在有放回选取中，同一元素可被重复选中，从n
个不同
元素中取
m
个元素组成的一个排列，称为有重复的排列。由于< br>m
个元素每个元
素的选取都有
n
种可能，其排列总数为
nm
。
(2)选排列和全排列。从包含
n
个不同元素的总体中，每次取出
m
(mn)
个
不同元素按一定的顺序排成一列，这样的一列元素称为选排列 。其排列总数为
p
m
n
；当
mn
时，排列称为全排列，其 排列总数为
n!
。
（二）排列相关公式
(1)排列数公式：
(2 )阶乘：
m
n
p
n(n1)

(nm1)

p
n
n
n(n1)1n!
，特别地，
0!1
m
(3)排列数公式和阶乘的关系：
P
n

4、组合
（一）组合定义
n!

(nm)!
从
n
个不同 元素中，每次取出
m
(mn)
个不同元素并成一组，不考虑其次
序，称每个 组为一个组合。其组合数为
C
n
。
（二）组合数常用公式
(1) 组合数与排列数关系：
C
n

(2)组合数计算公式：
C
n

m
m
m
P
P
m
n
m
m

m
n(n1)

(nm1)n!

m!m!(nm)!
nm0
(3)组合数的性质：1）
C
n

C
n
，特别地，
C
n
1
。

< br>2）
C
n1

C
n

C
n

3）二项式定理
(ab)
n

C
n
an

C
n
a
n1
b


C
n
a
nr
b
r



Cn
b
n
01rn
mmm1

n
C
n

C
n

C
n

C
n< br>2

01rn
特别地，
(11)
n
0
C
n

C
n
(1)
r
C
n(1)
n
C
n
b
n

例：7支足球队进行比赛，问：
（1）若采用主客场赛制，共有多少场比赛？
（2）若采用单循环赛制，共有多少场比赛？
解：（1）采用主客场赛制意味着每两支球队之 间进行两场比赛，比赛双方各
有一个主场。这时从7支球队中每次挑选2支球队进行比赛，要计较所挑选 球队
的顺序，即需要将它们排队，不妨规定排在前面的球队是在主场比赛，因此这个
问题是排列 问题。由于一个排列对应一场比赛，所以共有
01rn
p
2
7
7642
场比赛。
（2）采用单循环赛制意味着每两支球队之间只进行一场比赛。这 时从7支球队
中每次挑选2支球队进行比赛，不计较所挑选球队的顺序，即不需要将它们排队，
因此这个问题是组合问题。由于一个组合对应一场比赛，所以共有
76
2

C
7
21
21
场比赛。