排列组合的应用问题
电影的英文-儿童成语故事
专题：排列组合的应用问题
一．两个原理及其应用。
1. 加法原理（分类
计数原理）：完成一件事情有n类办法，其中第一类办法有
方法；第二类办法有
成这件事情共有
m
种不同的
1
m
种不同的方法；……第n类办法有
m
种不同的方法；那么完
2n
2n
m
m
……<
br>m
种方法。
1
注意：合理分类，类类互斥。
2. 乘法原理（分步
计数原理）：完成一件事情有n个步骤，其中第一步有
第二步有
m
种不同的方法；1
m
种不同的方法；……第n步有
m
种不同的方法；那么完成这件事情共
有
2n
n
m
m
……
m种方法。
12
注意：步步独立。
3.
两个原理的综合应用：合理分类，先类后步。
常见类型:1.多个区域的染色问题。本类问题的方法是；按步染色，第三步开始分类。
2．m封信放进n个邮筒，共有
n
m
个。
x
2
y
2
1
，表示焦点在
y
轴上的椭圆，其中【考点训练】1.方程<
br>mn
m{1,2,3,4,5},n{1,2,3,4,5,6}
，那么这样的椭圆
有 个。
2.从1~36中抽出7个为1注，每注2元。某人想先选定吉利号18号，然
后从1~17号中选
出3个号为连号，从19~29中选出2个号为连号，再从30~36中选出1个；
组成1注。
若这个人将符合要求的号序全买，则该人需花 钱。
3.将3种农作植物
种植在如图的5块试验田中，每块种一种植物且相邻的田不可种同一作物，
有
种种植方法。
A B C D E
4.如图下图。一环形花坛，分成ABCD
四块，现有4种不同花供种植，要求每块里种一种花
且相邻2块种不同的花，则不同的种法有
种。
A B
C D
5，现有四种不同颜色要对上右图所示的四个部分
进行着色，要求有公共边界的两块不可着
同一种颜色，则不同的种法有 。
6.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区<
br>分站的位置，则不同的站法种数有 种。
7.某外商计划在4个候选城市投
资3个不同项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，
则该外商不同的投资方案有
种。
8.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有 种。
9.在
x1
x
2
x3
x4
x5
展
开式中
x
4
项的系数为
；
x
3
项的系数
为： 。
二．相关概念及公式。
三．综合应用问题:
1.
基本方针：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
2. 基本方法：元素分析法或位置分析法。
3. 常见类型及解题方法：
1相邻问题：捆绑法或视一法；即把要相邻元素捆绑起来看成一
个元素和其他元素进行排
○
列，但要注意被捆绑元素本身还有顺序。
【考点训练】1.有3个男生，4个女生排成一排，女生必须站在一起；有 种站法。
2.用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求1和2相邻且任何相邻的两个数字的奇
偶
性不同；则这样的六位数共有 个。
3.四对双胞胎兄弟在一起照相，要求兄弟两人要站在一起；有 种站法。
2
不相邻问题：插空法；即把除不相邻元素外的其他元素按要求进行排列，n个元素产生
○
n+1
空位，然后把不相邻元素插入这n+1个空位。
【考点训练】1.现有8名学生和2位老师站成一排合
影，则2位老师不相邻的排法种数为
82828282
（ ） A.
A
8
A
9
B.
A
8
C
9
C.
A
8
A
7
D.
A
8
C
7
2.有6个座位连成一排，现有3个人就坐，则恰有两个空位相邻的不同座法有 种。
3.一排共有9个座位，甲、乙、丙三人如下方式入坐：每人左右两旁都有空座位，且甲必须
在乙、丙
两人之间，则不同的排法有 种。
4.有两排空位，前排10人座位，后排11个座位，现安排2人就坐，如果因故后排中间的3
个座位不能坐，并且这2人不可以左右相邻，那么有 种不同座法。
5.五个人排一排，甲与乙不相邻且甲与丙也不相邻的排法有 种。
6.
由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位数偶数的个数是 个。
7.由1,2,3,4,5,6,7,8组成的8位数，1,2相邻，3,4相邻，5,6相邻；7,8
不邻的共有 个。
3已定序的节目单中插入新节目问题：
○
方法一：分类法:
插入的节目相邻
插入的节目不相邻
方法二：分步法：逐个插入。
【考点训练】1.某班在某次活动中已准备了5个节目，
且已排好顺序。现又有两个节目需要
插入，其他节目相对顺序不变；有 种插入方法。 <
br>2．12名学合影，站成前排4人，后排8人，现摄影师从后排8人中抽出2人，调到前排，
若其
他人的相对顺序不变，则不同的调法有 种。
3.从30人组成的队伍中，他们可排成6行5
列，现从任选出3人，并要求3人任意2人，
不同行也不同列，则不同选法有 种。
4部分元素的定序问题：比例法或等概率法。即先把所有元素按要求排列，然后站在要定
○
序元
素的角度分析所有结果分为几类；并分析所要的顺序占几分之几。
【考点训练】1..甲、乙、丙三名
志愿者安排周一至周五的5天中参加某志愿者活动，要求每
人参加1天且至多安排一人，且要求甲在另两
位前，则有 种排法。
2.某工程队完成某6项任务，要求甲必须在乙前，丙必须在乙后，
丁必须在丙完成后立即动
工，则有 种施工方案。
3.高三某班6名同学站成一排
照相，同学甲、乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同的排
法种数共有（ ） Ａ.１２０
Ｂ.２４０ Ｃ.３６０ Ｄ.４８０
4.将A,B,C,D,E排成一列，要求A,B,C,在排
列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻)，
这样的排列数有（ ）种
A.12 B.20 C.40 D.60 5.从7人中选出5人排成一横行，其中甲、乙两人必须选出且甲必须排在乙的左边，则不同
的排列
种数是（ ） A.240 B.480 C.600
D.1200
5全错位的排列数问题：公式法。
D
n
(n1)(
D
n1
D
n2
)
，
n3,n
N
○
其中
D
0,
D
12
1
【考点训练】1.编号为1
，2,3,4,5.的五个小球放入编号为1,2,3,4,5的5个盒子中，至多有两
个数字匹配的放
法有 种。
2..有4位同学在同一天的上下午参加“身高”“立定跳远”“肺活量”“握
力”“台阶”五项的
测试，每位同学上下午各测一个项目且不重复，若上午不测“握力”，下午不测“台
阶”，
其余各项上，下午都各测一次，则有 种测法。
3.四个问题对应四个正确的选项，设答对题的个数为X，求X的分布列。
4.在3×3的表
格中，要求每格填写1、2、3三个数字并且每一行和每一列都不可出现重复
的数字，若游戏开始时的第
一行都已添上数字，则此游戏有 种填法，若游戏开始时表
格空白，则有
种填写法。
5.如图，用四种不同颜色给图中的六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中
每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A.288 B.264 C.240 D.168
6.有4位老师
在同一个年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每
位老师不能在本班监考，则有
种监考方法。
6平均分组问题：商比法，即按要求分步分组，然后再除以平均组数的全排列。
○
【考点训练】1.两个红球3个黄球4个白球，同色球不加以区分，将9个球排列有
种
排法。
2.10名篮球队员中的主力队员被分到甲、乙两个俱乐部，每俱乐部5人，有 种排法；
若10名主力队员被平均分配成两组有 种排法。
3.六本不同的书分成三份，每份两本；共有 种分法。
7人员多于岗位个数的
任务安排问题：现根据岗位个数将人分组，然后再乘以岗位个数的
○
全排列。
【考点
训练】1.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个馆至少分配一
名志愿者的方案种
数为 。
2.有三辆不同的公交车，3名司机，6名售票员，每辆车配一名司机2名
售票员，则所有工
作安排方案有 种.
3.将6个学生分配到3个社区参加社会实践，每个社区至少一名学生有 种分法。
4.某校安排5个班到4个厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，
不同的安
排方法共有 种。
5.将9名志愿者分配到三个不同的会场参加接待工作，每个会场至多四人；有
种不
同的分法。
8同元分堆问题（每堆至少一个）：隔板法。即，n个同元分m堆，只需在n
-1个空位中
○
放入m-1个挡板；即
C
m1
n1
。若
某堆至少k个，则先给其k-1个；化为上述问题。
【考点训练】1.10个保送上大学的名额，分给7个学校，每校至少一个名额；共有
种
分配方案。
2.有20张入场卷和8个部门，因其中的1个部门的球迷较多，至少要分4张
，其他每部门
至少分1张，问该单位将这20张票全部分给8个部门有 种分法。
3
.将20个不加区分的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每一个盒子中的球数不
小于它的编
号数，求不同的方法数 。
9多排问题：单排法。
○
10至少问题：对立事件法或排除法。
○
【考点训练】1.从5名男医生
，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、
女医生都有，则不同的组队方案共有（
）种 A.70 B.80 C.100 D.140
2.男运动员6名，女运动员
4名，其中男女队长各1人，现选派5人外出比赛，求在下列情
况下各有多少种方法。①要求选出的人有
队长，又要有女队员。②至少有1名女队员
③队长至少有1人参加。
3.从10名大学毕业
生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的
不同选法的种数为（
） A.85 B.56 C.49 D.28
4.三个好朋友同时考进一所
高中，该校高一有十个班，则至少有两人被分到同一个班的不同
分法有 种。
5
.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，集齐三种卡片可获奖，现购
买该种食品5
袋，能获奖的概率为 。
11至多问题：分类法。
○
【考点训练
】1.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示衣蛾
信息，
不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位
置上的数字相同的
信息个数为（ ） Ａ.１０ Ｂ.１１ Ｃ.１２ Ｄ.１５
2.某校开设10门课程供学
生选修，其中A.B.C.三门由于上课时间相同，至多选一门，学校
规定，每位同学选修三门，则每位
同学不同的选修方案是（ ）A.120 B.98 C.63 D.56
12定位问题：优限法，即受限位置，受限元素优先考虑。
○
【考点训练】1.从6
个人中选出4个人参加数、理、化、英比赛，每人只参加其中一项，其
中甲、乙两人都不可参加英语比赛
，则不同的方法有 种。
2.五乒乓球队员，有2名老队员和3名新队员
，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团
体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、
2号中至少有1名新队员的排法有
种。
3.某台小型晚会由6个节目组
成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不
能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，
该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A.36 B.42
C.48 D.54
4.2010年广州亚运会组委会要从小张、小李、小罗、小王
、小赵五名志愿者中选派四人分
别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，其中小张和小赵只能从事
前两项工作，其
余三人均能从事四项工作，则不同的选派方案有（ ）种 A.48
B.12 C.18 D.36
5.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公
益活动，每人一天，要求星
期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（
）
A.40 B.60
C.100. D.120
6.2位教师与5位学生排成一排，要求2位教师相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
A.480 B.720 C.960
D.1440
13非常规的排列组合问题：列举法或树图法。主要有几何图形问题，电路问题，有规
则的
○
游戏问题等。
【考点训练】1.以正方体的顶点为顶点，①可构成
个三棱柱。②可构成 个四棱柱。
③可构成 个棱柱。
2.如果一条直线与一
个平面平行，那么就称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个
长方体中，由两个顶点确定的直线
与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是
个。
3.三人相互传球，球由甲开始传出，经5次后，球传回到甲中，则不同球的传法有
种
传法；若经过n次传递后球传回到甲中又有 种传法。
4.如图4个电子元件T
,
T
,
T
,
T
1234
通过电流的
T
1
N
概率均为0.9，则电流能在M与N之间通过的概率
M
为： 。
5.将一枚骰子连续抛掷3次，它落地向上的点数
依次成等差数列的概率为 。
6.若一元二次方程
T
2T
3
x
2
mxn0
中m,n的取值
T
4
分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则
方程有实根的概率为： 。