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球与盒子的排列组合问题（精华版）
首先看一下分类，主要有8种：
1）球 同，盒 同，无 空箱
2）球 同，盒 同，允许空箱
3）球 同，盒不同，无 空箱
4) 球 同，盒不同，允许空箱
5) 球不同，盒相同，无 空箱
6）球不同，盒相同，允许空箱
7) 球不同，盒不同，无 空箱
8）球不同，盒不同，允许空箱

做这种题型关键是要对号入座，下面的解释分析统一假设m个球，n个盒子。
先从最简单入手，第8种，每个球都有n种选择，所以是
n
m

剩下的我们先从前四种（数字都不会太大，且分析较简单）开始。
做题时一看到球同，盒同，就想到凑数法，事实证明这是最快的一种方法。
如第（1）种，假设m=7，n=4.它的情况只有 1 1 1 4
1 1 2 3
1 2 2 2
这3种情况，所以答案是3.
第（2）种是在第（1）种的基础上延伸 它的情况如下
0，0，0，7
0，0，1，6
0，0，2，5
0，0，3，4
0，1，1，5
0，1，2，4
0，1，3，3
0，2，2，3
1，1，1，4
1，1，2，3
1，2，2，2
所以答案是11种。
第（3）种，典 型的插板法（不懂的网上搜一下）。记住就行
C
n-1
m-1

n-1
C
第（4）种，是上面方法的延伸，同样记住就行
mn-1

下面分析球不同的 （５） （６） （７）３种情况
先给各位献上一张表，大家别看到数字 就害怕了，其实也就是类似与乘法口诀表，（５）（６）
（７）的答案都可以在这个表上找到。

看一下图上的数字是怎么来的，看下面解释
第一左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第5行就是1XXX1
第二 S（n,k) =S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)，含义是第N排的第K个数等于他上一排的上一个位置
数字加上一排的同样位置数字的K倍
例如S（7，3）就是第7排第3个数字，所以他等于上排第6 排第2个数字+第6排第3个
位置*3
所以画图的话，明显第1排是1，第2排1，1，推 理第3排（左右两边都是1，只有中间那
个数字没确定）
所以S(3,2)=第2排第1个 数字+第2排第2个数字两倍=1+1*2=3，所以第3排数字就是1,3,1.
同理S(4,2)= S(3,1)+2*S(3,2)=1+2*3=7,
S(4,3)=S(3,2)+3*S(3,3)=3+3*1=6......如此类推三角形 所以第（5）种即：N不同球，M同箱子，无空箱。一共有
S(N,M)种
分法，比如7个 不同
球，4个相同箱子，每个箱子至少一个，则看三角形的第7行，第4个数字多少。
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而类型6，N不同球 ，M同箱，允许空的时候（在类型5的基础上允许空箱）。明显是N个球不变，一个空
箱子都没有+有一 个空箱子+有两个空箱子+有三个空箱子+，，，，，，都装在一个箱子。说的简单点一共
有就是 < br>S(N,1)+S(N,2)+S(N,3)+..........S(N,M)=也就是说第N
排开始第1个数字一直加到第M个数字就是总的分法

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而类型7同样是在类型5的基础上升华，因为5是 箱同的，而7箱不同，所以箱子自身多了P(M,M)=M!
倍可能

所以类型7的公式就是

M!乘以
S(N,M)