罗马假日影评-齐桓晋文之事

《高中数学研究性学习案例》




用映射的观 点研究高考中的一些排列组合问题，将它们统一
为映射和满射问题并进行推广，得出关于满射个数的计数 公式等
结果，可以帮助我们用较高的理论观点统一看待和理解这些问题
的本质及其一般解法．
一、映射
例1（06年高考湖南理科卷）某外商计划在4个候选城市投
资3个不同的 项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该
外商不同的投资方案有 种．
例 2（07年高考陕西文科卷）安排3名教师去4所学校任
教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种．
评析 用映射的观点看，设X为 3个不同项目（3名教师）的
集合，Y为4个候选城市 （4所学校）的集合，则例1、例2可统
一为：从X向Y作映射，不能将X中3个元素全映射到Y中同一
个元素上的映射有多少个？因为从X到Y的映射共有
4
3
个，其中
3 个元素全映射到Y中同一个元素上的映射有
C
4
1
= 4个，故例1、
例2的解均为
4
3
－4=60种．用映射的观点可将两例推广为：
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定理1设集合X为
n
元集合，集合Y为
m< br>元集合，从X向Y
作映射，不能将X中
n
个元素全映射到Y中同一个元素上，则 这
1
样的映射共有
m
n
C
m
=
m
n
m
个．
二、单射
例（08年上海中等职业学生高考题第4题）某校 设有6个不
同的兴趣小组，每名学生限报一个组，现有3名学生报名，假设
每名学生报每个组的 可能性相同，则任何两名学生不报同一个组
的概率为
3
P
6
3P
6
3
C
6
(A)
6
； (B)
6
； (C)
3
；
3
6
3
3
C
6
(D)
3
.
6
解 问题为从3元集合到6元集合的单射有多少种。满足条
3
3
P
C3!
件的报名方法有
6
=
6
种，而3名同学的报名方法共 有
6
3
种
P
6
3
5
（样本空间中的样本点 总数）。故所求概率为
3
=。选C。
9
6
说明：排列组合， 概率，高中课程标准先讲概率再讲组
合，目的？
三、满射
补充例（2009重庆卷 理）将4名大学生分配到3个乡镇去当
村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种
（用数字作答）．
【答案】36
例3 (04年高考全国文科卷) 将4名教师分配到3所中学任
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教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有 种．
解 由题意知，3所中学必恰有一所分到2名教师，另外2所
2
3!
=36种． 各分1名教师，用“捆绑法”得所求分配方案共有
C
4
评析 用映射的观点看，例3实 质上是从4元集合到3元集
合的满射个数问题．利用容斥原理可得关于满射个数的一般计数
公式 ：
定理2 设集合X为
n
元集合，集合Y为
m
元集合，
n
,
m
N

，
nm
，则由
m1
k0
X到Y的满射共有
k
(mk)
n

f(n,m )
=

(1)
k
C
m
12
m1
(m1)
n
C
m
(m2)
n
－…
(1 )
m1
C
m
=
m
n
C
m

个．
,b
m
}
，
Ω
为X到Y的所有映射构成的集证明 设Y=
{b
1
,b
2
，
合，
A
i
{< br>f

f：XY
,
b
i

f(X)
}
,
i1,2,,m
，即
A
i
为使
b
i
没
有原象的
Ω
中所有映射
f
构成的集合，则
n
|

|m
n
；
|A
i
|(m1)< br>，
1im
；
|A
i
A
j
|(m2 )
n
，
1ijm
；…，
一般地，有

| A
i
1
A
i
2
A
i
k
| (mk)
n
，
1i
1
i
2
i
k
m
，
k1,2,,m
．
则
Ω
中不是满 射的映射共有
|A
1
A
2
A
m
|
个，根据容斥
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原理，所求满射个数
f(n,m)
为

f(n,m)
=
|Ω||A
1
A2
A
m
|

=
m

|Ai
|
n
i1
m
1ijm

|A< br>i
A
j
|
…
+
(1)
k
1 i
1
i
2
i
k
m

|Ai
1
A
i
2
A
i
k
|

+ … +
|A
1
A
2
A
m
|

=
m
n12
C
m
(m1)
n
C
m< br>(m2)
n

m1
k
(mk)
n
 (1)
m1
C
m
－…
(1)
k
C
m

k
=

(1)
k
C
m
( mk)
n
．
k0
m1
例4（0７年高考宁夏等理科卷）某校 安排5个班到4个工厂
进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不
同的安 排方法共有 种.
解 问题为求从5元集合到4元集合的满射个数问题．由定
理2得 所求安排方法共有
f(5,4)
=

(1)
k
C
4
k
(4k)
n
=240种．（若用
k0
3
“ 捆绑法”同样可得结果为
C
5
2

4!
=240）
例5 (07年高考湖北文科卷）将5本不同的书全发给4名同
学,每名同学至少有一本书的概率是 ．
解 满足条件的分书方法与例4完全相同，都是从5元集合
到4元集合的满射问题，故分书方法 也是240种；因为从5元集
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24015
合到4元集合的映射共有
4种，故所求概率为
5

．
64
4
5
例6 (06年高考全国文科卷) 5名志愿者分到3所学校支教，
要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有 种.
解 为从5元集合到3元集合的满射个数问题．由定理2得所
求分法种数为
f(5, 3)
=

(1)
k
C
3
k
(3k)< br>n

k0
2
=
3C
3
2
+
C
3
515
2
1
5

=150．
例7（06年高考重庆理科卷）将5名实习教师分配到高一年
级的３个班 实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案
有 种.
解 问题为：从5元（ 5名教师）集合X向3元（３个班）
集合Y作满射，不能将X中3个元素映射到Y中同一个元素上的满射有多少个？同例6得，从5元集合到3元集合的满射共有
150个，其中X中有3个元素映射到 Y中同一个元素上的满射有
3
C
5

3!
=60个，故所求 方案有150-60=90种.
1
1
C
3
注： 用“捆绑法”也可 得结果为
C
5
2
C
3
2
C
1
=9 0．
三、一个元素入盒问题的推广
例8（95年全国高考题）将4个不同的小球放入编号为 1，
2，3，4的4个盒子中，则恰有1个空盒的放法共有 种．
解 从4个盒子中 选出1个作为空盒，有
C
4
种方法；对选定
的1个空盒，将4个不同的小球放 入其余的3个盒子且每个盒子
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1

都不空，为从4元集合到3元集合的满射问题，同 例3，这样的
满射共有
f(4,3)
=36个．由乘法原理即得所求放球方法共有1

f(4,3)
=144种．
C
4
评析 例8也可 看成是恰有一个元素没有原象的映射问
3
2

3！=144，但是在一般情形 下题．用“捆绑法”也可得解为
C
4
C
4
如何解？利用定理2和乘法 原理可得例8在一般情形下的推广与
计数公式：
定理3 将
n
个不同的小球 放入编号为1，2，…，
m
的
m
个
盒子中，则恰有
r
个盒子
(0rm)
是空盒的放球方法共有
rr
C
m

f(n,mr)C
m
mr1

k0
kn
(1)
k
C
m
(mrk)

r
种．
例9 从6元集合X向5元集合Y作映射，Y中恰有2个元
素没有原象的映射有多少个？
解 由定理3，所求映射共有
Cf(6,3)
=
C
2
5< br>2
5

(1)
k0
2
k
C
3< br>k
(3k)
6

=5400
个．


例（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村
官，每个乡镇至少一名，则不同的 分配方案有 种
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（用数字作答）．
【答案】36
【解析 】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分
211
C
4
C
2
C
1
2
A
2
成三组，其分法有;第二步将分好的三组 分配到3个乡
镇，其分法有
211
C
4
C
2
C
1
3
A
3
36
2
A
2



A
3
3
所以满足条件得分配的方案有
例.(2 009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同
的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两 名学生不能分到同
一个班，则不同分法的种数为
A.18

B.24

C.30

D.36

【答案】C
【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在 一个班的
3
2
3
种数是
C
4
，顺序有
A< br>3
种，而甲、乙被分在同一个班的有
A
3
种，故所求种数是
C
4
A
3




233
A
3
30

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