邓的笔顺-缩写句子

“隔板法”解决排列组合问题
（高二、高三）


排列组合 计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”
可起到简化 解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以
解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不 同放法
有多少种？
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？
（3） 12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小
于其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这1 1个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把
“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即 每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应
于一种放法，所以不同的放法有
C
11
=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有
C
4
4< br>种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的
盒子，每盒至少装一个有
C< br>4
C
11
66
种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不 同的盒子，每盒至
少装一个有
C
4
C
11
=220种;④装 入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有
3
C
11< br>165
种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
32
21
1
3
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个 小球装入4个不同的盒子，每盒
至少装一个的装法有
C
15
455
种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1 个盒子或
两个盒子，共有
C
4
C
4
10
种。
法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的 盒
子，每盒至少装一个，由隔板法有
C
5
10

由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
例2 、（1）方程
x
1
x
2
x
3
x
4< br>10
的正整数解有多少组？
(2) 方程
x
1
x
2
x
3
x
4
10
的非负整数解有多少组？
（3）方程
2x
1
x
2
x
3
Lx
10
3
的非负整数整数解有多少组？
3
12
3

解：（1）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，有
C
9< br>84
种，所以该方程有
84组正整数解。
（2）转化为10个相同的小球装 入4个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为14个
相同的小球装入4个不同的盒 子，每盒至少装一个，有
C
13
286
种，所以该方程有286组非负整数 整数解。
（3）当
x
1
0
时，转化为3个相同的小球装入9个不 同的盒子，可以有空盒，有
C
11
165
种。当
x
11
时，
转化为1个小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有
C
9=9种；所以该方程有165+9=174组非负整数整数解。
例3、已知集合
1
3
3
3



，选择 < br>
的两个非空子集
A,B
，且
A
中最大的元素比
B< br>中最小的元素小，
则选择方法有多少种？
解：由题意知
A,B
的交集 是空集，且
A,B
的并集是

的子集
C
，所以
C< br>至少含有两个元素，将
C
中元素按
从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边 的给
A
，后边的给
B
，
A,B
至少含有1个元素，设
C
中有
n
个
1
元素，则转化为
n
个相同的小球装 入2个不同的盒子，则有
C
n
种装法，故本题有
31151
C5
2
C
5
C
2
C
5
4
C
3
C
5
C
4
49
种选择方法。
总之 ，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。若每组元素数目至少一个
时，可 用插“隔板”，若出现每组元素数目为0个时，向每组元素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”
法 加以解决。