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二项式拓展之：解排列组合问题的五大原则

排列、组合是高中数 学的重要内容，新教材中概率与统计的增加更突出了排列、组合的
重要性．高考对排列组合的考查以两个 基本原理——分类加法计数原理和分步乘法计数原理
为出发点，侧重检测解题思想和解题技巧，因而对解 题策略和思维模式的培养和提炼是平时
训练的核心．下面通过具体的例题来解析排列组合问题的解题策略 之“五大原则”．
一、 分类讨论原则：
例1.（2012德州二模）2012年伦敦奥运 会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五
名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机 四项不同工作，若其中甲、乙只能从
事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共 有
A．18种 B．36种 C．48种 D．72种

二、 特殊优先原则
该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．
例2.（2012烟台二模）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中
至少有1门相 同的选法种数为（用数字作答）＿＿＿
答案：30
解析：可先求出所有两人各选修2门的种 数
C
4
C
4
=36，再求出两人所选两门都都不同
的种数均 为
C
4
C
2
=6，故只至少有1门相同的选法有36－6＝30种。
评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的
位置 一定要优先考虑．
三、先取后排原则
mmm
·A
m
An
该原则充分体现了
C
n
的精神实质，先组合后排列，从而避免了不必要 的重复
22
22
与遗漏．
例3.（2009重庆卷理）将4名大学生分配到 3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，
则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
答案：36
211
C
4
C
2C
1
解析分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二< br>2
A
2

步将分好的三组分配到3个乡镇， 其分法有
A
3
所以满足条件得分配的方案有
211
C
4C
2
C
1
3
A
3
36

2
A
2
3
评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤 其是排列与组合的综合问题．若
3
本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有< br>A
4
种方法，再将剩下的1名教
3
师分给3所学校有3种选择，则共有
A
4
·372
种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、
丙、丁和 甲、乙、丁、丙）．因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则．
四、正难则反原则
若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，
再整体排除．
例4.【2012高考真题四川理11】方程
aybxc
中的
a,b ,c{3,2,0,1,2,3}
，且
22
a,b,c
互不相同，在所 有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条
答案：B
解析：本题可用排除法，
a,b,c{3,2,0,1,2,3}
， 6选3全排列为120，这些方程所表示
的曲线要是抛物线，则
a0
且
b 0
,，要减去
2A
5
40
，又
b2或2
和< br>b3或3
时，
方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为
332 18
，所以不同的抛物线共有
120-40-18=62条.故选B.
评注： 正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般
寻找反面途径．利用正难 则反原则的语境有其规律，如当问题中含有“至少”，“最多”等
词语时，易用此原则．
五、策略针对原则
不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方
法．
１．相邻问题捆绑法（整体法），相隔问题插空法
例5. 某校高三年级举行一次演讲比赛，共有 10位同学参赛，其中一班有3位，二班
有2位，其他班有5位．若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序 ，则一班的3位同学恰好被
安排到一起（演讲序号相连），而２班的２位同学没有被排在一起的概率为（ ）
Ａ．
1

10
2
Ｂ．
1

20
Ｃ．
1

40
Ｄ．
1

120
1010
解析：10人的全排列数是
A
10
，即 所有的演讲顺序有
A
10
种．符合要求的演讲顺序有两
个限制：一班的3位同 学相邻，而2班的2位同学不相邻，因此分步完成：
①把一班的3位同学看成一个整体，他们自身全排列有
A
3
3
种安排；

②把这个整体当成1个元素与其他班5个元素一起排列有
A
6
6
种安排；
③把这6个元素排定后有7个空位（包含两端），从这7个空位中任取2个空位安排2
班的 2位同学有
A
7
2
种排法（这样确保2位同学不相邻）．
36A
3
·A
6
·A
7
2
1
满足条件的排列共有
A·A·A
种，即所求概率是，故选Ｂ．

10
A
10
20
3
3
6
6
2
7
评注：处理相邻问题和不相邻问题时易采用整体法（确保相邻）和插空法（确保相隔），
只是要注意是先 整体后插空（相邻与不邻的综合问题）或先排后插（单纯的相隔问题），再
就是要注意整体元素的排列顺 序问题．
2．合理分类直接分步法
例6.【2012高考真题陕西理8】两人进行 乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，
则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情 形）共有（ ）
A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种
答案：C.
解析：首先分类计算假如甲赢，比分3：0是1种情况；比分3： 1共有3种情况，分别是前
3局中（因为第四局肯定要赢），第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比 分是3：2共
有6种情况，就是说前4局2：2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2
局获胜，有6种情况.甲一共就1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况，共有10+10= 20
种情况.故选C.
评注：合理分类与直接分步是两个基本原理———分类加法计数原 理和分步乘法计数原
理最直接的体现，是解排列组合问题的最原始的方法．诸多排列组合问题总是从合理 分类，
直接分步得到解决的．
3．顺序一定消序法（用除法）
例7. 某 班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如
果将这两个节目插入原节目 中，那么不同插法的种数为（ ）．
Ａ．42 Ｂ．30 Ｃ．20 Ｄ．12
解析：新插入两个节目，而原来的5个节目顺序不变，从结果考虑，7个节目的全排列
A< br>7
7
1
是
A
，而顺序不变的5个节目的全排列是
A< br>，不变的顺序是总体的
5
，则一共有
5
42
A
5< br>A
5
7
7
5
5
种不同的插入种数，故选A．
评注：某些元素顺序不变的排列用除法解决，即若共有n个元素，其中m个元素顺序
不变， 则其不同的排列数为．当然本题可以这样考虑：最终有7个节目位置，从7个位置中
任选2个位置安排新 增节目有
A
7
2
种方法，其他5个位置按原5个节目的固定顺序排列，因2
42
种不同的插入方法． 此共有
A
7

４．对象相同隔板法
例8. （1）高二年级要从3个班 级抽取10人参加数学竞赛，每班至少1人，一共有______
种不同的安排方法．
（ 2）（2003年荆州市质检卷Ⅱ）10个相同的小球放到3个不同的盒中，每个盒不空，
一共有___ ___种不同的放法．
解析：两例的实质一样，属于同一模型———对象相同，这类问题处理方式 较多，但隔
板法简单易操作：10个相同的小球有9个空档（确保盒子不空）．从9个空档中选2个空< br>档放入两块隔板，将小球分成三部分（每一种放档板的放法对应着10个小球分成3部分的
分法） ，每部分一一对应着一个不同的小盒．因此一共有
C
9
2
种不同的放法，即< br>C
9
2
36
种．而
把10个竞赛名额分配给3个班，每班至 少1个名额的方法与此一模一样．
评注：研究的对象是不加区别的元素时，一般考虑隔板法．这是 一个基本的数学模型，
由此变形的问题是：
xyz10
有多少组正整数解？而解 法不变．