数学排列组合之分贺卡问题巧算
余年寄山水
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2021年01月10日 14:51
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数学排列组合之分贺卡问题巧算
数学排列组合要求思维灵活变通，否则理解
不透将会出错。排列组合问题大体可以分成
几类，如隔板类，插空类等等，还有其中一类是分贺卡问题。
分贺卡问题，就是指“n个人
各自写1张贺卡，再抽取不是自己写的贺卡的概率种树”此类问题。在我手
上的几本练习
册和教科书上，分贺卡问题都是用类似穷举法做出解决。
题目：过年4个人每人
各写1张贺卡，然后放到一起，再每人各抽一张。问每个人都没
有抽到自己写的贺卡的概率是多少？ <
br>解析：题目可简化为数字1，2，3，4放入标号为1，2，3，4的盒子里，要求所放数字
和盒
子编号都不相同的可能种数。
一般书上介绍的是穷举法，人数多为4，5，穷举法先把情况分为两种：
1.1数字放到盒
子n，且数字n放到盒子1；2.
1数字放到盒子n，但数字n不放到盒子1；然后再细分穷举。
我的方法：要求出方法种数。先全排列
A
4
4
；这样便把“有一个盒子与所放数字相同”
的情况包括在内，就减去
3
C
1
4
A
3
；但这样减又把“有两个盒子与所放数字相同”的情况
2
A
2
；
如此类推到最减多了（1，3都重复时，1算了一次，3又算了一次），便又加上
C
4 2
后，可得公式：
0
A
4
-C
1
A
3
+ C
2
A
2
-C
3
A
1
+C
4
A
0
C
4
4 4 3 4 2 4 1 4 0
0
和
A
0
的理解是不用组合和不用排列。此式经过试验可用。 对于
C
4 0
最后注
意：当问题是问“最多至少有k人拿到没拿到重复”时，此公式不适用。因为
每一步都弥补了缺陷和留下
了缺陷，所以省开其中一些来计算此类问题是会出错的。