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排列组合常见题型及解法
排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变 万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到
解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题 型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一．
处理排列组合应用题的
一般步骤为：
①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律
（1）两种思路：直接法，间接法。(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。
1 重复排列“住店法”
重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。把不能 重复的元素看作“客”，能重复的元素
看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。
例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）



2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）
安 排好，后再安排其它元素。对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？



例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排 在第一、
三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有______ ___种（用数字作答）。



例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？



3. 相邻问 题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大
元素：与其 他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？


例 2（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列 放在
书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（ 结果用数字表示）。



4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻 ）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素
插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 < br>例5（2003年北京春季高考题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新 节目。如
果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 （ ）
A 6 B 12 C 15 D 30

例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？


5. 定序(顺序一定)问题用除法:对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。
例1、信号兵把红 旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示
不同信号 的种数是（ ）（用数字作答）。


例2. 由数字0、1、2、3、4、5组 成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有
多少个？


6. 多排问题用直排法:对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成
一排的方法求解。
例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？


7. 至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，可以采用转
化思想从问题的反面入手考虑，然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。在应用此法时要注意做到不重不漏。
例1. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种



8. 先选后排“综合法”:
“先选后排”是解排列组合问题的一个重要原则。一般地，在排列组合综合问题中 ，我们
总是先从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上。
例. 对某产品 的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第5
次时被全 部发现，则这样的测试方法有多少种可能？



9.递推法
例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？


10．用转换法解排列组合问题
例．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连 续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．

例2：个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．

例3. 从1，2，3，„，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．

例4 某城街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少．

例5 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．


10
例6求（a+b+c）的展开式的项数．

例7 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂 台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，
胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方 获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过
程有多少种？



11．
错位排列问题:错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli） 提出，其通常提法是：n个有序元
素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题。 < br>例1．五个编号为1、2、3、4、5的小球放进5个编号为1、2、3、4、5的小盒里面，全错位排列 （即1不放1，
2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是说5个全部放错）一共有多少种放法 ？







例2．五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？







例3. 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种



12. 分球问题“隔板法”:常用于解决整数分解型排列、组合的问题。
例1.求方程x+y+z=10的正 整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？)




例1．求方程x+y+z=10 的非负整数解的个数。


例．将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要 求每个盒子中的球数不少于它的编号数，
求放法总数。


例:为构建 和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节
目 的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？

例. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？
解：6个班 ，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，
每一种插法， 对应一种分配方案，故方案有：
13．分球入盒问题
（种）
例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？
① 小球不同，盒子不同，盒子不空
②小球不同，盒子不同，盒子可空
③小球不同，盒子相同，盒子不空
④小球不同，盒子相同，盒子可空
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空
⑦小球相同，盒子相同，盒子不空
⑧小球相同，盒子相同，盒子可空
例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内，球全部放入盒子内
（1）共有几种放法？（答：
4
4
）
23
（2）恰有1个 空盒，有几种放法？（答：
C
4
A
4
144
）
23
（3）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法？（答：
同上
C
4
A
4
144
）

14．分组问题与分配问题
①分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理
例22。有9个不同的文具盒：（ 1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多
少种不同的分法？



例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2 ）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述
问题各有多少种不同的分法？



例25（06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资 的项目不超过2个,则该
外商不同的投资方案有 ( )
A.16种 B.36种 C.42种 D.60种

15.合并单元格解决染色问题
例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜
色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。

16、比赛计数问题
根据比赛规则，比赛计数问题主要分为四类，每类比赛都有对应的解题方法，如下所示：


注意：单循环赛，即任意两队打一场比赛，和顺序无关，所以是组合问题；双循环赛，即任意两 个队打两场比赛，
和顺序有关，所以是排列问题。
例1．100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？（）
A．90 B．95 C．98 D．100


例2．足球世界杯决赛圈有32支球队参加，先平均分成八组，以单循环方式进行小 组赛；每组前两名的球队再
进行淘汰赛。直到产生冠、亚、季军，总共需要安排（）场比赛。
A．48 B．63 C．64 D．65


17.多元问题用分类法
对于多个元素问题，有时有多种情况需要进行分类讨论，然后根据分 类计数原理将各种可能性相加
即得。需要注意的是，分类时要不重复不遗漏。
例1 在一块并 排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，
要求A 、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有____________种


例2 有11名翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另2人英语、日 语都精通。从中找出8人，使
他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组 能同时工作。问这样的分配名单共可开出
多少张？



例3. 已知直线中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。



例4. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？