排列组合典型例题.
相敬如宾不相睹-红楼梦87版
排列组合典型例题
排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排
列组合问题,
首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组
合综合问题;其次要抓
住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。
教学目标
1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.
掌握解决排列组合问题的常用策略 能运用解题策略解决简单的综合应用
题。提高学生解决问题分析问题的能力
3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 .
复习巩固
1. 分类计数原理 (加法原理
完成一件事,有 n 类办法,在第
1类办法中有
1
m 种不同的方法,在第 2类 办法中有
2
m
种不同的方法,„,在第 n 类办法中有 n m 种不同的方法,那么 完成这件事共有:
种不同的方法.
2. 分步计数原理(乘法原理
完成一件事,需要分成 n
个步骤,做第 1步有
1
m 种不同的方法,做第
2步 有
2
m 种不同的方法,„,做第 n 步有 n m
种不同的方法,那么完成这件事共 有:
种不同的方法.
3.
分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计
数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完 成整个事件.
解决排列组合综合性问题的一般过程如下 :
1. 认真审题弄清要做什么事
2.
怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时 进
行 ,
确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题 (有序 还是组合 (无序 问题
, 元素总数是 多
少及取出多少个元素 .
4.
解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解 题策
略
一 .
特殊元素和特殊位置优先策略
例 1. 由
0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数 .
解 :由于末位和首位有特殊要求
, 应该优先安排 ,
两个位置 .
先排末位共有 1
3C
然后排首位共有 1
4C 最后排其它位置共有
34A
由分步计数原理得 113
434288C C A =
练习题 :7种不同的花种在排成一列的花盆里 , 若两种葵花不种在中间,也不
种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?
二 . 相邻元素捆绑策略
例 2.
7人站成一排
,其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 .
解:可先将甲乙两元素捆
绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一
个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计
数原理可得共有 52252
2480A A
A =种不同的排法
练习题 :某人射击 8枪, 命中 4枪,
4枪命中恰好有 3枪连在一起的情形的不 同
种数为 20
三 . 不相邻问题插空策略
例 3. 一个晚会的节目有 4个舞蹈 ,2个相声 ,3个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场 ,
则节目的出场顺序有多少种?
解 :分两步进行第一步排 2个相声和 3个独唱共有
55A 种,第二步将 4舞蹈插
入第一步排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种 4
6A 不同的方法 ,
由分步计数原理 , 节目的不同顺序共有 54
56A
A
练习题:某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单,开演前又增加了两
个新
节目 . 如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,
那么不同插法的
种数为 30 四 . 定序问题倍缩空位插入策略
例 4.7人排队 , 其中甲乙丙 3人顺序一定共有多少不同的排法
解 :(倍缩法 对于某几个元素顺序一定的排列问题 , 可先把这几个元素与其
他元素一起进行排列 , 然后用总排列数除以这几个元素之间的
全排列数 ,
则共有不同排法种数是:73
73A A
(空位法 设想有
7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 4
7A 种方法,其
余的三个位置甲乙丙共有
1种坐法,则共有 4
7A 种方法。
思考 :可以先让甲乙丙就坐吗 ?
(插入法 先排甲乙丙三个人 , 共有 1种排法 , 再把其余 4四人依次插入共 有
方
法
练习题 :10人身高各不相等 , 排成前后排,每排 5人 ,
要求从左至右身高逐渐 增
加,共有多少排法?
5
10C
五 .
重排问题求幂策略
例 5. 把 6名实习生分配到 7个车间实习 , 共有多少种不同的分法
解 :完成此事共分六步 :把第一名实习生分配到车间有 7
种分法 . 把第二名 实
习生分配到车间也有 7种分依此类推 , 由分步计数原理共有
67种不同的 排法
练习题:
1. 某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单,
开演前又增加了两个 新节目 .
如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 42
2. 某 8层大楼一楼电
梯上来 8名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯 , 下电梯 的方法
87
六 . 环排问题线排策略
例 6. 8人围桌而坐 , 共有多少种坐法 ?
解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定
一人 44A
并从此位置把圆形展成直线其余 7人共有(8-1
!种排法即 7! A B C D
E A
E H G F
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐
一安排各个元素
的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列
数为 n m 种
一般地 ,n 个不同元素作圆形排列 , 共有 (n-1!种排法 . 如果从 n
个不同元素中取
出 m 个元素作圆 形排列共有
1m n A n
练习题:6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 七 .
多排问题直排策略
例 7.8人排成前后两排 , 每排 4人 , 其中甲乙在前排 , 丙在后排
, 共有多少排法
解 :8人排前后两排 , 相当于 8人坐 8把椅子 , 可以把椅子排成一排
. 个特殊
元素有 24A 种 , 再排后 4个位置上的特殊元素丙有 1
4A 种
, 其余的 5人在 5
个位置上任意排列有 55A 种 , 则共有 215445A A A
种
练习题:有两排座位,前排 11个座位,后排 12个座位,现安排 2人就座规
定前排中间的 3个座位不能坐,并且这 2人不左右相邻,那么不同 排法的种数是
346
八 . 排列组合混合问题先选后排策略
例 8. 有 5个不同的小球 , 装入
4个不同的盒内 , 每盒至少装一个球 , 共有多少
不同的装法 .
解 :第一步从
5个球中选出 2个组成复合元共有 25C 种方法 . 再把 4个元素
(包含一个复合元素
装入 4个不同的盒内有 44A 种方法, 根据分步计数 原理装
球的方法共有 2454C A
练习题:一个班有 6名战士 , 其中正副班长各 1人现从中选 4人完成四种不
同的任务 , 每人完成一种任务 , 且正副班长有且只有
1人参加 , 则不同 的选法
有 192 种
九 . 小集团问题先整体后局部策略
例 9. 用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1, 5在
两个奇数之间 , 这样的五位数有多少个?
解:把1, 5, 2,
4当作一个小集团与3排队共有 22A 种排法,
再排小集团 内部共有 2222A A
种排法,由分步计数原理共有 222
222A A A 种排法 .
练习题:
1. 计划展出 10幅不同的画 , 其中 1幅水彩画 , 4幅油画 ,
5幅国画 , 排成一
一般地 , 元素分成多排的排列问题 , 可归结为一排考虑 , 再分段研
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。
行陈列 , 要求同一
品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,
那么共有陈列方式的种数为 254
254A
A A
2. 5男生和5女生站成一排照像 , 男生相邻 , 女生也相邻的排法有
255255A A
A 种
十 .
元素相同问题隔板策略 例 10. 有 10个运动员名额, 分给 7个班, 每班至少
一个 ,
有多少种分配方案? 解:因为 10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额
之间形成9个
空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对
应地分给7个
班级,每一种插板方法对应一种分法共有 69C 种分法。
二 班
三
班
六 班 七 班
练习题:
1. 10个相同的球装
5个盒中 , 每盒至少一有多少装法? 49C
2 .100x y z w
+++=求这个方程组的自然数解的组数 3
103C 十一 . 正难则反总体淘汰策略
例 11. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于
10的偶
数 , 不同的 取法有多少种?
解:这问题中如果直接求不小于
10的偶数很困难 , 可用总体淘汰法。这 十个数
字中有 5个偶数 5个奇数 ,
所取的三个数含有 3个偶数的取法有 35C ,
只含有 1个偶数的取法有 1255C C ,
和为偶数的取法共有 123
555C C C +。再淘汰和
小于 10的偶数共 9种,符合条件的取法共有 1235559C
C C +-
练习题:我们班里有 43位同学 , 从中任抽 5人 , 正、副班长、团支部书记至
少
有一人在内的
抽法有多少种 ?
十二 . 平均分组问题除法策略
例
12. 6本不同的书平均分成 3堆 , 每堆 2本共有多少分法?
将 n 个相同的元素分成
m 份(n , m 为正整数 , 每份至少一个元素 , 可以用 m-1
块隔板, 插入 n
个元素排成一排的 n-1个空隙中,所有分法数为 1
1m n C -- 有些排列组合问题 ,
正面直接考虑比较复杂 , 而它的反面往往比较简
捷 , 可以先求出
它的反面 ,
再从整体中淘汰 .
解 : 分三步取书得 222642C C C 种方法 ,
但这里出现重复计数的现象 , 不妨记
6
本书为 ABCDEF ,若第一步取 AB,
第二步取 CD, 第三步取 EF 该分法记
为 (AB,CD,EF,则 222
642C C C 中 还 有 (AB,EF,CD,(CD,AB,EF,(CD,EF,AB(E
F,CD,AB,(EF,AB,CD共
有 33A 种取法 ,而这些分法仅是
(AB,CD,EF一种分法 , 故共有 22236423C C C A 种
分法。
练习题:
1 将 13个球队分成 3组 , 一组 5个队 , 其它两组 4个队 ,
有多少分法?
(544
213842C C C A
2.10名学生分成 3组 , 其中一组 4人 , 另两组 3人但正副班长不能分在同一 组 ,
有多少种不同的 分组方法 (1540
3. 某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入
4名学生,要安排到该年级 的两个
班级且每班安
排 2名,则不同的安排方案种数为
______(2222
426290C C A A = 十三 . 合理分类与分步策略
例 13. 在一次演唱会上共 10名演员 , 其中 8人能能唱歌 ,5人会跳舞 , 现要演
出一个 2人唱歌 2人伴舞的节目 , 有多少选派方法
解:10演员中有
5人只会唱歌, 2人只会跳舞 3人为全能演员。选上唱 歌人员为
标准进行研究
只会唱的
5人中没有人选上唱歌人员共有 2233C C 种 , 只会唱的 5人中只
有
1人选上唱歌人员 112
534C C C 种 , 只会唱的 5人中只有 2人选上唱歌人
员有 2255C C 种,由分类计数原理共有
2211222
3353455C C C C C C C ++种。
练习题:
1. 从 4名男生和 3名女生中选出 4人参加某个座 谈会, 若这
4人中必须 既有男
生又有女生,则不同的选法共有 34
2. 3成人 2小孩乘船游玩
,1号船最多乘 3人 , 2号船最多乘 2人 ,3号船只 能乘
1人 , 他们任选 2只船或
3只船 , 但小孩不能单独乘一只船 , 这 3人共
平均分成的组 , 不管它们的顺序如何 ,
都是一种情况 , 所以分组后要一定要除
以 n n A (n 为均分的 组数 避免重复计数。
解含有约束条件的排列组合问题, 可按
元素的性质进行分类, 按事件发生的连续过程分步, 做
到标准明确。分步层次清楚,
不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
有多少乘船方法 . (27 本题还有如下分类标准:
*以
3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以 3个全能演员是否选上跳舞人
员为标准 *以只会跳舞的
2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四 .
构造模型策略
例 14.
马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯 , 现要关掉其中的 3
盏 ,
但不能关掉相邻的 2盏或 3盏 , 也不能关掉两端的 2盏 , 求满足条
件的关
灯方法有多少种?
解:把此问题当作一个排队模型在 6盏亮灯的 5个空隙中插入
3个不亮的灯 有
35C 种
练习题:某排共有 10个座位,若
4人就坐,每人左右两边都有空位,那么 不同的坐
法有多少种?(120 十五 .
实际操作穷举策略
例 15. 设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号
1,2,3,4,5的五个盒子 , 现将 5个球投
入这五个盒子内 , 要求每个盒子放一个球,
并且恰好有两个球的编 号与盒子的编号
相同 , 有多少投法 解:从 5个球中取出
2个与盒子对号有 25C 种还剩下 3球 3盒序
号不能对应,
利用实际操作法,如果剩下 3,4,5号球 , 3,4,5号盒
3号球装 4号盒
时,则 4,5号球有只有 1种装法,同理 3号球装 5号盒时 ,4,5号球
有也只有 1种
装法 , 由分步计数原理有 252C 种
3号盒 4号盒
5号盒
练习题:
1. 同一寝室 4人 , 每人写一张贺年卡集中起来 ,
然后每人各拿一张别人的贺年
卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种? (9
2.
给图中区域涂色 , 要求相邻区 域不同色 , 现有 4种可选颜色 , 则不同的着色
方法有
72种
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型, 如占位填空模型,
排
队模型, 装盒 模型等,可使问题直观解决
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用
公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收
到意想不到的结果
5
4
3
21
十六 . 分解与合成策略
例 16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析:先把
30030分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×
11×13
依题意可知偶因数必先取 2, 再从其余
5个因数中任取若干个
组成乘积,
所有的偶因数为:12345
55555
C C C C C ++++ 练习 :正方体的 8个顶点可连成多少对异面直线
解:我们先从 8个顶点中任取 4个顶点构成四体共有体共 481258C -=,
每个四面
体有
十七 . 化归策略 例 17. 25人排成 5×5方阵 ,
现从中选 3人 , 要求 3人不在同一
行也不在同一 列 , 不同的选法有多少种?
解:将这个问题退化成 9人排成 3×3方阵 , 现从中选 3人 , 要求 3人不
在同一行
也不在同一列 , 有多少选法 . 这样每行必有 1人从其中的一 行中选取 1人后 ,
把这
人所在的行列都划掉, 如此继续下去 . 从 3×3
111
5
练习题 :某城市的街区由
12个全等的矩形区组成其中实线表示马路, 从 A 走
到 B 的最短路径有多少种? (3
735C =
B
A
十八 . 数字排序问题查字典策略
例 18.由 0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个没有重复的比
324105大的数?
解 :297
2
21
1
2
2
3
3
4
4
5
5
=
+
+
+
+
=A
A
A
A
A
N
练习 :用
0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数 , 将这些数字从 小到
大排列起来 ,
第 71个数是 3140
十九 . 树图策略
例 19. 3人相互传球 ,
由甲开始发球 , 并作为第一次传球 , 经过 5次传求后 , 球
仍回到甲的手中 ,
则不同的传球方式有 ______ 10
=
N
练习 : 分别编有 1, 2, 3, 4, 5号码的人与椅, 其中 i 号人不坐 i 号椅
(5 4 3 2
1, , , ,
i = 的不同坐法有多少种? 44
=
N
二十 . 复杂分类问题表格策略
例 20.有红、黄、兰色的球各 5只 ,
分别标有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五个字母 ,
现从 中取 5只 ,
要求各字母均有且三色齐备 , 则共有多少种不同的取法 解
二十一:住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一
类不能
重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再
一些复杂的分类选取
题 , 要满足的条件比较多 , 无从入手 , 经常出现重复遗
漏的情况 , 用表格法 , 则分类明确 , 能保证题中须满足的条件
, 能达到好的效
利用乘法原理直接求解 .
例 21.
七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能 的种
数有 .
分析:因同一学生可以同时夺得 n 项冠军,故学生可重复排列,将七名学生 看作
7
家“店”,五项冠军看作 5名“客”,每个“客”有 7种住宿法,由 乘法原理得 75种 .
小结
本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组
合
历来是学习中的难点,通过我们平时做的练习题,不难发现排列组合题的
特点是条件
隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证。
同学们只有对基本的解题
策略熟练掌握。根据它们的条件 , 我们就可以选取 不同的技巧来解决问题
. 对于一
些比较复杂的问题 , 我们可以将几种策略结
合起来应用把复杂的问题简单化,举一
反三,触类旁通,进而为后续学习打 下坚实的基础。