特长生-文明施工

[超全]排列组合二十种经典解!
法．


2



超全的排列组合解法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题
型多样，思路灵活，因此解决排列组 合问题，
首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合

问题 还是排列与组合综合问题；其次要抓住
问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处
理。

教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类
计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运
用解题策略解决简单的综合应用题。提高学
生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合
问题.
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有类办法，在第1类办 法中有
n
种不同的方法，在第2类办法中有种不同
mm
种不同的方类办法中有 的方法，…，在第
mn
法，那么完成这件事共有：

12
n
m?mm?L??N
12n
页 22 共 页 2 第

3



种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成个步骤， 做第1步有
n
种不同的方法，做第2步有种不同的方
mm
种不同的方法，那么 完法，…，做第步有
mn

成这件事共有：

mm??LN?m?
种不同
的方法． 分类计数原理分步计数原理区别
3.分类计数原理方法相互独立，任何一种方
法
都可以独立地完成这件事。分步计数原理
各步相互依存，每步中的方法 完成事件的
一个阶段，不能完成整个事件．: 解决排列
组合综合性问题的一般过程如下 1. 认真审
题弄清要做什么事即采取分步还,2.怎样做
才能完成所要做的事确定分多,或是分步与
分类同时进行,是分类 少步及多少类。还是
有序3.确定每一步或每一类是排列问题()元素总数是多少及取出多少组合,)(无序问
题.
个元素往往类与步交叉，解决排列组合综合
性问题，4.
页 22 共 页 3 第
12
n
12n

4

因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重
复数字五位奇数.
解:由 于末位和首位有特殊要求,应该优先
安排,以免不合要求的元素占了这两个位
置.
先排末位共有
C

然后
排首位共有
C
最后排其它位置共有
A
113
CAC
由分步计数原理得
434
288AC?C
位
置分析法和元素分析法是解决排列组合问
题最 需先常用也是最基本的方法,若以元
素分析为主,

,练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆
里也不种在两端若两种葵花不种在中间，
的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻
元素捆绑策略, 其中甲乙相邻且丙丁相邻
人站成一排2. 例7 ,.
共有多少种不同的排法解：可先将甲 乙两元
1
3
14
34113443

素捆绑成整体并看成一个同时丙丁也看成
一个复合元素，复合元素，
页 22 共 页 4 第
5




再与其它元素进行排列，同时对相 邻元素内
部进行自排。由分步计数原理可得共有种不
同的排法
丁丙乙甲

522
480?AAA
225


要求某几个元素必须排在一起的问题,可
以用

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中
恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
20



三.不相邻问题插空策略
例3.一个 晚会的节目有4个舞蹈,2个相
声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节
目的出场顺序有多 少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独
唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好

的
A
不个元素中间包含首尾两个空位共有种
6A
节目的不同顺由分步计数原理,同的方法,
序共有种
AA

元素相离问题可先把
没有位置要求的元素
页 22 共 页 5 第
55
46
5465

6




练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已
排成节目单，开 演前又增加了两个新节目.
如果将这两个新节目插入原节目单中，且两
个新节目不相邻，那么不 同插法的种数为
30


四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共
有多少不同的排法
解:(倍缩法)对 于某几个元素顺序一定的排
列问题,可先把这几个元素与其他元素一起
进行排列,然后用总排列 数除以这几个元素
之间的全排列数,则共有不同排法种数是：
AA
把椅子让除甲乙丙以外的设想有7空位
法 ()种方法，其余的三四人就坐共有
A

个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共

有种
7337
47

方法。
A

思考:可以先让甲乙
丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排
法,

方4四人依次插入共有再把
其余

法

47
页 22 共 页 6 第

7




缩以用倍定序问
题可

排成前后排，每排:10人身高各不相等,练习
题共有多少,要求从左至右身高逐渐增加，5
人 排法？
C
五.重排问题求幂策
略共有多,7个车间实习例5.把6名实习生
分配到 少种不同的分法把第一名实习生分
配到完成此事共分六步:解:把第二名实习
生分配到.车间有 7 种分法

由分步计
数原理7车间也有种分依此类推, 共有种不
同的排法
7
允许重复的排列问题的特点是
以元素为研究对象， 元素不受位置的约束，
可以逐一安排各个元素的位
510
6

练习题：个节目已排成节5 1．某班新年联
欢会原定的如果将这 目单，开演前又增加了
两个新节目.两个节目插入原节目单中，那
么不同插法的 42
种数为

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8



他们名乘客人,某8层大楼一楼电梯上来82.
,下电梯的方法到各自的一层下电梯
7


环排问题线排策略六.?
人围桌而坐6. 8,共有多少种坐法例解：围
桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成并从此圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
！）位
置把圆形展成直线其余7人共有（8 -1 种
8
44
排法即！
7
C

DB

AE

CAGHDEAFBFH

G
一般地,n个不同元素作圆形排列,
共有(n-1)!种 排法.如果从n个不同元素中
取出m个元素作圆形


练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种

钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙
在前排,丙在后排,共有多少排法

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9



,把椅 子相当于8人坐8解:8人排前后两排,
个特殊元素有可以把椅子排成一排.
A
个
位置上的特殊元素丙有种,再排后4个位置
上任意排5人在5,种其余的
A
,则共有种
24
14
列有种

1255
AAAA
5544


后 排前 排
一般地,元素分成多排的排列
问

练习题：有两排座位，前排 11个座位，后
排12个座位，现安排2人就座规定前排中
间的3个座位不能坐，并且这2人不 左右相
邻，那么不同排法的种数是
346


八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不 同的小球,装入4个不同的盒
内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装
法.
解: 第一步从5个球中选出2个组成复合元
共有种方法.再把4个元素(包含一个
C

页
25
22 共 页 9 第

10



44
种个不同的盒内有复合元素)装入4
A

根
据分步计数原理装球的方法共方法， 有
AC

先选后排是最基本的,解决排列组合混
合问题
名战士,6其中正副班长各1练习题：一个班
有人现从中选4人完成四种不同的任务,每
人完成一种任务,且正副班长有且只有1人
参加,则不同的选法有 192 种


九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位
数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之< br>间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排
队共有种 排法，再排小集团内部共有
A

种
42
22
45

排法，由分步计数原理共有
AAAAA
种排法.
小集团排列问题中，先整体后局
练习题：

2222222222

页 22 共 页 10 第

11



,１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩
画要求４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,
品种的必须连在一起，并且水 同一
那么共有陈列方式的种数为彩画不在两端，
AAA

女,2. 5男生和５女生站成一排照
像,男生相邻 种生也相邻的排法有
AAA

十.元素相同问题隔板策略个班，每
班个运动员名额，分给7例10.有10 有多
少种分配方案？至少一个,个名额没有差别，
把它们排成10 解：因为一排。相邻名 额
之间形成９个空隙。在可把９个空档中选６
个位置插个隔板，名额分成７份，对应地分
给７个班级，种每一种插板方法对应一种分
425425
552552
法共有

6
C
9

分法。

七三四二六五一

班班班班班班班


将n个相同的元素分成m份（n，
m为正整数）, 每份至少一个元素,可以用
m-1块隔板，插入n
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12





练习题：每盒至少一有个盒中, ．10个相
同的球装51 多少装法？
C
2 .求这个
方程组的自然数解的组数
100?zx?y??w

C
正难则
反总体淘汰策略十一.这十个数字中
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9例11. 从不同取出三
个数，使其和为不小于10的偶数, 的 取
法有多少种？的偶解：这问题中 如果直接求
不小于10可用总体淘汰法。这十个数字数
很困难,所取的三个数含,个偶数5个奇 数中
有5个偶数的1,只含有有3个偶数的取法有
C
取法有,
CCC?CC< br>
再和为偶数的取法共有。

种，符合条件的偶数共9淘汰和
小于10 的取法共有
9C?CC?

有些排
列组合问题,正面直接考虑比较复

49
3103
353122155555
312555

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13





,人从中任抽5我们班里有43位同学,练习
题： 正、副班长、团支部书记至少有一人
在内的?
抽法有多少种 .平均分组问题除法策略十
二本共每堆2本不同的书平均分成3堆,例
12. 6 有多少分法？但这里出现种方法,解:
分三步取书得
CCC

为书6本记 现象,
不妨计重复数的CD,第二步取，若第一步取
AB,ABCDEF则(AB,CD,EF ),EF该分法记为第
三步取有中还
CCC

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)( ,共
有种取法EF,CD,AB),(EF,AB,CD)
A
,(AB,CD,EF)一种
分法 而这些分法仅是 故共有种分法。
ACCC

平均分成的组,不管它们的顺序如
何,都是一种情 况,所以分组后要一定要除
以(为均分的组数)
222264
222264
33
22233624

页 22 共 页 13 第

14



练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它
两组4个队, 有多少分法？（）
ACCC
3, 另
两组其中一组组,4人2.10名学生分成3有
多少种不同人但正副班长不能分在同一组,
的 ）分组方法 （1540 某校高二年级共有
六个班级，现从外地转3.名学生，要安排到
该年级的两个班级且每4入 班安______排2
名，则不同的安排方案种数为 （）
90?ACCA
. 十三合理分类与分步策略人能8,13.例在一
次演唱会上共10名演员其中人能唱歌,5人
会跳舞,2现要演出一个 有多少选派方法2
唱歌人伴舞的节目,人只会人只会唱歌，
251 0解：演员中有选上唱歌人员为人为全能
演员。跳舞3 标准进行研究人中没有人选上
唱歌人员5 只会唱的人,种共有只会唱
的人中只有51
CC

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544221384
22222642
2233

15

人中5,只会唱的选上唱歌人员种
CCC

由分人选上唱歌人员有种，只有2
CC

类
计数原理共有 种。
CCCCCCC??


解含有约束条件的排列组合问题，可按元素
的性


练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某
个座 谈会，若这4人中必须既有男生又
有女生，则不同的选法共有34


2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3
人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,
他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独
乘一只船,
这3人共有多少乘船方法. （27）
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标
准
都可经得到正确结果

211435
2255
533

页 22 共 页 15 第

16



.构造模型策略十四的1,2,3,4,5,6,7,8,9
例14. 马路上有编号为但不能,现要关 掉其
中的3盏九只路灯,也不能关掉两,盏或3盏
关掉相邻的2求满足条件的关灯方法有多,2
盏端的 少种？5盏亮灯的把此问题当作一
个排队模型在6解： 种3个空隙中插入个
不亮的灯有
C

一些不易理解的排列组合
题如果能转化为非常熟

练习题：某排共有10个座位 ，若4人就坐，
每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有
多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号
1 ,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰
好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多
少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有种
C


35
25

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17



利用实3盒序号不能对应，还剩下3球3,4,5,
如果剩下3,4,5号球际操作法，号球有4,54
号盒时，则号盒3号球装号盒53号球装只
有1种装法，同理由分步,1种装法时,4,5
号球有也只有 种计数原理有

2
C2
5



435
4号盒3号盒 号盒5
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用
公式进


练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起
来,然后每人 各拿一张别人的贺年卡，则四
张贺年卡不同的分配方式有多少种？
(9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,
现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72

种


18
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14325


. 分解与合成策略十六 16. 30030能被多
少个不同的偶数整除例分解成质因数的乘
积先把30030分析：13
× 7 ×1130030=2×3×5 ×形式再2,依题
意可知偶因数必先取 个因数中任取若干个
组成乘积，从其余5 所有的偶因数为：
C??C?CC?C
:练习正方体的8个顶点可连成多
少对异面直线个顶点构个顶点中任取84解：
我们先从 ,每个四面体有成四体共有体共
58?12?C

个顶点正方体中的83对异面直
线,分解与合成策略是排列组合问题的一种
最基本的 对异面直线可连成
174?583?
把一个复
杂问题分解成几个小问题逐解题策略,




5412355555
48

页 22 共 页 18 第

19



化归策略十七.要,3人5方阵,现从中选例
17. 25人排成5×不同的选法有,3人不在同
一行也不在同一列求 多少种？方×3将这
个问题退 化成9人排成3解：人不在同一要
求3现从中选3人,阵,这样有多少选法.行
也不在同一列, 11人从其中的一行中选取每
行必有把这人所在的行列都划掉，如人后,
人的3×3方队中选此 继续下去.从33方阵
选出×5再从方法有种。5
CCC

方队×
5 .3方阵便可解决问题从5×5列有选法所以
从中选取3行3
CC

方阵选不在同一行也
不在同一列5× 选法。的3人有
CCCCC

处理复杂的排列组合问题时可 以
把一个问题退化成一个简要


练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区
组
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111123
3355
1113313255

20

A成其中实线表示马路，从)
走到B的最短路径有多少种？(
35C?
B
37
.数字排序问题查字典策略
十八六个数字可以组成5，4，，1，2，30例
18．由 大的数？多少个没有重复的比
324105 :解
297?AA?2?A?A?A2N?


A
1324513425
数字排序问题可用
查 查字典的法应,字典法

这六个数字组成没有重0,1,2,3,4,5练习:
用将这些数字从小到大排列 复的四位偶数,
3140 个数是,第71起来

.树图策略
十九并作 为第一由甲开始发球,,人相互传
球．例19
3
球仍回到甲的,次传球经过,次传求后
5
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21



______ 有球方式,则不同的传手中
10N?


对于条件比较复
杂的排


号码的人与椅，，52，3，4分别编有练习: 1，）
的不同号人不坐号椅（其中
5,,3,4i?1,2ii
坐法
有多少种？
44?N
复杂分类问题表格策略二
十.、A5只,分别标有 例20．有红、黄、兰
色的球各要,现从中取5只C、D、E五个字
母,B、则共有多少,求各 字母均有且三色齐
备 种不同的取法: 解
红
黄
兰
1
1
3
1
2
2
12
1
3
1
13
2
1
2
21
2
2
1
22
3
1
1
31
取法
11
CC

54
CC

54
CC

54
CC

53
CC

53
CC

25

要满足的条件,一些复杂的分类选取题

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22




小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的
解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学
习中的难点，通过我们平时做的练习题，不
难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易
挖掘，题 目多变，解法独特，数字庞大，难
以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练
掌握。根据它们的 条件,我们就可以选取不
同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的
问题,我们可以将几种策略 结合起来应用把
复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，
进而为后续学习打下坚实的基础。

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