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排列组合问题之
分组分配问题

（一）
（五个方面）


一、非均匀分组
（分步组合法）

“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、
7
人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？
①分成
3
组，分别为
1
人、
2
人、
4
人；
②选出
5
个人分成
2
组，一组
2
人，另一组
3
人。
12
解：
①先选出
1
人，有
C< br>7
种，再由剩下的
6
人选出
2
人，有
C
6< br>种，最后由剩下的
4
人为一
124
4
组，有
C
4
种。由分步计数原理得分组方法共有
C
7
C
6
C
4
105
（种）。
23
②可
选分同步
。先 从
7
人中选出
2
人，有
C
7
种，再由剩下的
5
人中选出
3
人，有
C
5
23
种，分组方法共有
C
7
C
5
210
（种）。也可
先选后分
。先选出
5
人，再分为两组，由分步
523
计数原理得分组方法共有
C
7
C
5
C
3
210
（种）。

二、均匀分组
（去除重复法）

“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组
（去除重复法）

例2、
7
人参加义务劳动 ，选出
6
个人，分成
2
组，每组都是
3
人，有多少种不同的 分法？
33
解：
可
选分同步
。先选
3
人为一组， 有
C
7
种；再选
3
人为另一组，有
C
4
种 。又有
2
组都
33
C
7
C
4
是
3
人，每
A
种分法只能算一种，所以不同的分法共有。
70
（种）
2
A
2
2
2
33
C
6
C
3
也可
先选后分
。不同的分法共有
C
。
70
（种）
2
A
2

㈡部分均匀分组
（去除重复法）

例3、
10
个不同零件分 成
4
堆，每堆分别有
2
、
2
、
2
、
4
个，有多少种不同的分法？
2224
解：
分成
2
、< br>2
、
2
、
4
个元素的
4
堆，分别有
C
10
、
C
8
、
C
6
、
C
4
种，又有
3
堆都是
2
个
6
7
22C
10
C
8
2
C
6
4
元素，每
A
。
C3150
（种）
4
3
A
3
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有
m
个组的元素是
3
3
种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有
m
均匀的，都有
A
m
种顺序不同的分法只能算一种分法。】

三、编号分组

㈠非均匀编号分组
（分步先组合后排列法）

例4、
7
人参 加义务劳动，选出
2
人一组、
3
人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法 ？
32
A
2
420
（种）
解：
分组方法共有< br>C
7
2
C
5
。
高中数学教师分享总群---- 全国最大高中数学教师精英群，高质量群，名师云集;138936160

㈡部分均匀编号分组
（分组法）

例5、
5
本不同的书全部 分给
3
人，每人至少
1
本，有多少种不同的分法？
解：
分 两类。①一类为一人
3
本；剩两人各
1
本。将
5
本书分成< br>3
本、
1
本、
1
本三组，再分
11
3
C
2
C
1
3
给
3
人，有
C
5< br>
②另一类为一人
1
本，剩两人各
2
本。将书分成
2
本、
A
3
60
种分法。
2
A
2
1
C
3
2
C
1
3
90
种分法。共有< br>6090150
种分法。
2
本、
1
本三组，再分给3
人，有
C
2
A
3
A
2
例6、< br> 已知集合
A
含有
4
个元素，集合
B
含有
3
个元素。现建立从
A
到
B
的映射
f:AB
，使< br>B
中的每个元素在
A
中都有原象的映射有多少个？
2
521
C
2
C
解：
先把
A
中的
4
个元素分成
3
组，即
2
个、
1
个、
1
个 ，有
C
2
1
种分组方法，再把
B
A
2
2
4
21
C
2
C
1
3
中的
3
个元素全排列，共有
CA
3
36
种分组方法。因此，使
B< br>中的元素都有原象
2
A
2
的映射有
36
个。
2
4


（二）
（五个方面）

一、平均分堆问题倍缩法
（或缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）
1、 从
7
个参加义务劳动的人中，选出
6
个人，分成两组，每组< br>3
人，有多少种不同的分法？
3333
C
7
C
4< br>6
C
6
C
3
答案：。
70
（种） 或
C
7

2
70
（种）
2
A
2
A
2
2、
6
本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
222
C
6
C
4
C
2
答案：。 < br>15
（种）
3
A
3
附：6个班的数学课，分配给甲、乙、丙 三名数学教师任教，每人教两个班，有多少种不同
的分派方法？
222
答案：
C
6
C
4
C
2
90
（种）。 < br>3、
6
本书分三份，
2
份
1
本，
1
份
4
本，有多少种不同分法？
11
C
6
C
5
4
答案：。
C
4
15
（种）
2
A
2

二、
有序分配问题逐分法
（或分步法）
4、①有甲、乙、丙三项任务，甲需
2
人承担，乙、丙各需
1
人承担，从
10
人中选出
4
人承
担这三项任务，不同的选法种数是（ ）

A
、
1260
种
B
、
2025
种
C
、
2520
种
D
、
5040
种
211
答案：
C
10
C
8
C
7
2520
（种）。选
C
。
②
12
名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口
4< br>人，则不同的分配方
案有（ ）种。

A
、
CCC
4
12
4
8
4
4
种
B
、
3CCC
种
C
、
CCC
412
4
8
4
4
4
12
4
8
3
3
种
44
C
12
C
8
4
C
4

D
、种
3
A
3
答案： 选
A
。
高中数学教师分享总群---- 全国最大高中数学教师精英群，高质量群，名师云集;138936160

三、全员分配问题先组后排法
5、 ①
4
名优秀学生全部保送到
3
所学校，每所学校至少去
1
名，不同的保送方案有多少种？
23
答案：
C
4
A
3
36
（种）。
②5
本不同的书，全部分给
4
个学生，每个学生至少
1
本，不同的 分法种数为（ ）。

A
、
480
种
B
、
240
种
C
、
120
种
D
、
96
种
24
答案：
C
5
A
4
240
（ 种）。选
B
。

四、名额分配问题隔板法
（或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法）
6、
10
个优秀学生名额分到
7
个班级，每个班级至少
1
个名额，有多少种不同分配方案？
6
答案：
C
9
。
84
（种）

五、限制条件分配问题分类法
7、 某高校从某系 的
10
名优秀毕业生中选
4
人，分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
答案：甲、乙有限制 条件，按照甲、乙是否参加分四类。①甲、乙都不参加，有派遣方
433
案
A
8
种；②甲参加乙不参加，先安排甲有
3
种，再安排其余学生有
A
8
种，共有
3A
8
种；③
3
乙参加甲不参加，有
3A
8
种；④甲、乙都参加，先安排甲乙，有
7
种（树图法），再安排其
4332
22
余学生有
A
8
种，共有
7A
8
种。综上，不同的派遣方法总数为
A
8
3A
8
3A
8
7A
8
4088
种。





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