飞吧喜鹊-有趣对联

排列组合的应用
教学目标
1．指导学生通过分析、比较掌握解排列组合问题 的基本方法(利用两个原理分类分步解题与结合容斥原理用排
除法解题)与常见的特殊方法(如整元法、 插空法、除序法、挡板法等等)．
2．这部分知识应用性非常强，要在教学过程中反复强调充分理解每 个算符每步计算所对应的实际背景，使学生
能认同唯有不断提高自己的应用意识才能越来越熟练地顺利解 决排列组合问题．
3．这部分所涉及的题目解题方法常常多种多样，应鼓励学生尝试、探索各种不同的 解题方案，分析比较各种方
法的适用范围及特点，使学生在探索分析中确实感受到探索与分析的必要性， 以增强学生提高探索能力的自觉
性．
4．这部分题目难度较大，学生解题时难免出现错误，要 鼓励学生大胆说出不同的甚至是错误的解题方法，与同
伴一起分析自己思路中的合理成分与不足，使自己 与同伴都可以从错误中进一步准确理解各种解题方法的正确
使用方法，在这种讨论过程中增强学生自我反 省的批判能力和合作意识．
重点难点
每种排列组合的解题方法都对应着一个具体的“完成某 件任务”的过程，使学生明确每个算符与每步所对应的具
体完成任务的办法是最大的难点．特别是某些错 误使用乘法原理时出现的“完成任务”的办法，学生常常很难识
别其中出现的重复或漏计不同方法数的具 体情况，因此教学重点不仅是讲清每种正确的解题方法，而且应诱使
学生暴露自己的思维过程，及时纠正 对每种方法的误解误用．
教学过程
一、引言
回顾学过的知识：两个原理；排列组 合概念及排列数、组合数公式．强调两点：1．每个概念与公式都与具体完
成每件任务的办法设计密切相 关，因此解排列组合问题首先要明确题目中要“完成的任务”是什么，再确定你
准备如何完成任务的方案 ，最后再将方案中的每类、每步办法种数译成数学运算符号．2．前面所涉及的题目大
多数是为介绍概念 或公式所出现的比较单纯的问题，这节课将在更为实际因而也更为复杂的问题上进一步探讨
排列组合知识 的具体应用．
二、排列组合的应用问题(一)
这部分主要解决1．不同类问题(可重复排列 问题，不可重复排列问题，组合问题)的辩析．2．多类多步排列组
合问题的解决方法，主要是两个特元 以上的特元法或特位法、排除法的应用．
例1 有一些书要借给一些人，按下列要求各有多少种不同的借书方法．
(1)六本不同的书全部借给五个人，每人至少一本；
(2)五本不同的书借给六个人，五本书全部被借走；
(3)三本相同的书借给五个人，三本书全部借出，每人最多借走一本；
(4)三本相同的书借给五个人，三本书全部被借走．

(2)65=7776；

教学过程设计：例1的四个小问题同时给出，给学生自己思考并交流的时间．四问同时给出的 好处在于学生能
够通过比较题目不同的叙述方法自我纠正对题意的误解，弱点是学生自我纠正后可能会不 甚重视产生误解的原
因，因此，在教学过程中应通过设问让学生重视并反思可能出现误解的原因及避免误 读的审题重点。要引导学
生暴露所有可能的错误解法，并引导学生理解产生错误的原因．认真分析例1( 1)，为后面介绍整元法、除序法
做一定的准备．

逐一分析解题方法：
第一组提问：(解例1(1)时)
问1：据乘法原理，可以考虑每本书有五个去向，因此，借法总数为56，对吗？
(期望学生认识到这种算法无法保证“每人至少借一本的要求)
问2：可以设计借书过程：先选出5本书借给5个人，再将剩下的

(期望学生认识 到借到两本书的人的同一种借法被计算了两次，如果学生不能意识到这种重复计算，就举出一个
具体的被 重复计算的例子：如“第一、二、三、四、五本书分别借给A，B，C，D，E五人，又将第六本书借
给 A，”与“第六、二、三、四、五本书分别借给A，B，

原理被计算为两种不同的方法，但在实际上应视为一种借法)．
问3：怎样纠正上述的错误呢？
(期望学生认识到：可以先决定哪两本书借给同一个人，再将五“份”

也可以注意到所重复计算的方法数都出现在某个借了两本书的人

序法”做一铺垫)．
(注：这一提问顺序是假设学生只提出了两种错误解法时所用．若学

问4：再看题目，题目中如果改为“四人”？
(课上只须让学生认识到需分类讨论，做为课后选做，令学生课下完成具体计算过程)．
使问题复杂一些，以突出此方法的本质特点．)
第二组提问：(解例1(2)时)
问1：(估计大部分学生会利用“乘法原理”找到解题正确办法．)这个问题中哪些因素使你想到要从书的去向分
析解题过程从而得到借法数为“65”？
(期望学生能体会若从借书者分析，分类情况太复杂 ，另外，没有限定每人的借书量又是极重要的提示)．
问2：题目中的“全部借出”的作用是什么？
(期望学生能体会若无此限制，则每本书的去向应增添“未被借走”一种情况，于是不同的借法种数为“ 75”．)
第三组提问：(解例1(3)时)
问1：(估计有一些学生可以得出正确答案) 为什么不能设计借书的过程是选一个人取走一本书，再选一人取走一
本书，再选第三个人取走最后一本书 ？这种算法中是否已经反映了“书是相同的”这一条件？)

面上看并没有考虑书之间的差别 ，但实际上“乘法原理”的使用中将三个人得书的过程分成“步”就造成了与实际
情况相比的重复计算， 也相当于将书放于不同的位置，让借书人去取，这就造成了书实际上不相同的效果．)
问2：为什么不可用“53”来计算不同的借法种数？
(期望学生意识到这种算法无法保证“每人最多一本”的要求．)
第四组问题：(解例1(4)时)

五人中一人有两本，一人有一本的合理性及其中隐含的“整元”思想．)

么都是“相同的书”，有时是排列问题，有时又是组合问题，不可拆成“组合数”的积来解题？
(引导学生认识到不可据一些固定的系词来盲目区分组合与排列问题，而是要在充分理解乘法原理的基础上，据
实际情况判断乘法原理中所体现的“分步”所导致的计数方法是否适合实际问题的要求，并进一步体会在 实际
问题中排列组合问题的联系与区别．)
例1小结 两组元素(书、人)建立某种对应关系(借书)，计算不同的对应方法(借法)种数时，应特别注意：
1．每组元素的个数，每组元素间是否相同．
2．对应关系的要求：每个元素是否必须要有与之对应的元素？可以对应几个等等．
3．特别重视想清楚应用乘法原理时，所计算的方法种数是否与实际方法数相比有重复计数的情况．
例2 有一些不同的工作需分配一些人去做，满足下列条件的分配工作方法种数各为多少？
(1)有六人，五种不同的工作，在六人中任选三人去做五种工作中的三种，每人做且只做一种工作；
(2)有五人，五种不同的工作，每人做且只做一种工作，其中甲不能做第一种工作，乙不能做第二种工 作；
(3)有六人，四种不同的工作，选四人做且每人只做一种工作，且甲、乙不能做第一种工作．
解 (1)将分配工作的过程分为三步：第一步决定选哪三个人；第二步决定做哪三件工作；第三步决 定哪个人
担任哪个工作，则分配工作方法种数为：

教学过程设计：
令学生经讨论后提出各种解法，分析正确方法之间的等价性，如：


(2)解法一 甲、乙两人有特殊要求，可先考虑这两个特殊元素工作的分配方法(特元法)，由于甲 担任第二种工
作与否会导致乙可选择的工作方法数的不同变化，所以可分甲做或不做第一种工作，两类分 别计算分配工作的
种数：

解法二 由于甲、乙分别担任第一、二种工作的分配方 法数很易计算，所以可以用排除法计算不同的分配工作
方法种数：

教学过程设计：
令学生经讨论提出各种解法．分析第一种解法或与之类似解法的关键是连续考虑特殊元素，并特别关注第 一位
特殊元素的“排法”给第二位特殊元素提供的排法种数是否一致，以此判断是否需分类及分类的办

分析第二种解法中容斥原理的背景，特别注意有两个限制条件的使用排除法与 只有一个限制条件的使用排除法
的异同．应特别注意分析错

(3)解法一 可用排除法(排除甲或乙任第一种工作的情况)：

解法二 可先考虑第一种工作这一特殊 位置工作的分配方法，再考虑其它工作的分配方法(特位法)，则不同的
分配工作方法种数为：

解法三 从甲、乙这两个特殊元素考虑，可分三类情况计算分配方法种数．在被选出的四人 中分“没有甲、乙”，
“有且仅有甲、乙中的一人”、“既有甲、又有乙”三类：

教学过程设计：
除类似例2(1)(2)求解过程中组织学生探讨各种解题方法的正误以外， 应着重引导学生认识到从不同角度分析解
题过程时的难易程度，使学生能认识到有意识地从多种角度分析 问题的必要性．
例2小结 解决有特殊元素(或特殊位置)的排列、组合问题时，基本方法是特元( 或特位)法，排除法，例2提
示了各种方法在使用时应注意的问题，并且提示了根据已知从不同角度寻求 解决问题的办法．
三、排列组合的应用问题(二)
这部分主要让学生基本掌握排列组合问题中的几个特殊方法：整元法，插空法，除序法，挡板法．
例3 A，B，C等六人排成一队，满足下列要求的排队方法种数各有多少：
(1)A，B，C三人要排在一起
(2)A不能与B，C相邻．
解 (1)将 A， B，C先排在一起，再与其他人排．

(2)分“A在两端”与“A不在两端”两种情况求解，即

教学过程设计： 解例3(1)时，估计不少学生可以想到“整元”的思想，应在学生讲述自己解法时将“整元法”提练得更为 明确
清晰．在讲评中注意分析使用“整元法”时易出现的错误：①忽略了视为整元的各元素之间应确定排 列顺序．②
数错在组成“整元”后应排列的元素个数．
解例3(2)时，估计会有学生参照例 3(1)的想法沿用“整元”思想解题，注意在评述学生解题方案时提醒学生注
意三类常见错误：①不考 虑A在或不在两边应分类计算；②在计算“A不在两端”时，不注意排列在A两边的
人的顺序，或是错将 整元排列数计算为

认为“A与B，C不相邻”的否定是“A与B，C都相邻”，实际上应为“A与B或C相邻”．
例3小结：
1．“整元法”可用于解决“相邻”问题．又因“整元法”在排好整元后与其它元 素再排列时不拆散整元，所以
“整元”也可以起到“隔离”的作用，可用于解决某些“不相邻”问题．

2．在使用“整元法”时应特别注意①据实际情况确定构成“整元”的方法数．②构成“ 整元”后数清进一步需
排列的元素的个数．
例4 (1)三位女生、四位男生排成一排，女生不能相邻，有多少种不同的排队方法？
(2)三位女生、四位男生排成一排，女生不能相邻，男生也不能相邻，有多少种不同的排队方法？
(3)有七个空位子，三位女生去坐，女生不能相邻而坐，有多少种不同的坐法？
解 (1)用插空法，令男生排好，再将女生插入男生之间及两头所形成的可排入女生的五个空位中去：

(2)男、女生应互相隔开，所以不同排法种数为
(3)三个女生坐好后还应有4个空位，所 以可设想女生是被插入到四个空位所形成的五个位置中去的，不同的排
法种数为
教学过程设计：
解例4(1)时，无论是否有学生找到了正确简捷的解题方法，都应引导学生 认识到，前面所使用的各种解题方法，
均是由具有特殊要求的元素入手从正面或从不适应题目要求的反面 (排除法)优先考虑特殊要求来解题的，但若
仍沿用这种想法想解决题目要求的不相邻问题，就很困难， 所以可以换一个角度，先处理没有限制条件的元素(题
目中的男生)，再看是否能更简捷地解决有限制条 件的元素(题目中的女生)的排列问题．
解例4(2)时，应引导学生认识到，遇两组不同元素不相邻 问题时，仍可用插空法，但两组元素的个数需有一定
限制，若一组元素的个数为m，则另一组元素的个数 只可以取m-1，m，m+1，否则题目无解．
解例4(3)时，应引导学生认识到这一问题的解法是 一组相同元素与一组不相同元素之间不相邻问题的解法示例．
在讲解过程中应适时引导学生分析比较两 个问题．(1)比较“插空法”与“整元法”在解不相邻问题时的异同．(2)
比较例4(1)、(3) 之间的异同，为“除序法”做一些铺垫．
例4小结 插空法主要用于两组元素中有一组或两组元素彼此不能相邻的特殊排列或组合问题．
例5 用0，1，2，3，4，5组成满足下列条件的无重复数字的数，各有多少个不同的数：
(1)不含0的五位数，其中奇数数字需由大到小从左至右排列；
(2)六位数，其中偶数数字由大至小从左至右排列．
(1)解法一 可以考虑在五位数中确定两个偶数所在的位置及相对排列顺序，即
解法二 先将五位数任意排好，再将奇数所在的位数相同且偶数的


个五位数在且仅在一组数中，所以不同的五位数为
(2)解法一 类(1)解法一，选三个 位置将三个奇数排入，此时，由于偶数必须从左至右由大到小排列，所以不
会出现最高位为0的情况，即 所有不同的满足条件的不同六位数个数为：
解法二 类(1)解法二，将奇数所在位置及排列顺序都相同的六个数归并为一组，不同的满足条件的六位数为

教学过程设计：
解例5(1)时，引导学生认识到从奇数、偶数排列方法入手解决问题的等价 性，同时体会两种方法中算符与算式

的不同含意，必要时应回顾


为一组，同时由于应使偶数从左至右由大到小排列，所以不会出现最高位为0的情况．
视情况 而定，引导学生将问题发展成有两组或两组以上元素的排列顺序是确定(定序)的，或这些元素是相同的(无序)时，解题的思想与方法．
例5小结 除序法可用于解决被排列元素中有一组或一组以上的元 素是无序的(无差别)或定序的(排列顺序事
先指定)问题．
例6 有10个数学竞赛名额要分配给7个学校，每校至少分给一个名额，有多少种不同的名额分配方法？
解法一 若每校各分一个名额后、还有三个名额待分配，可分将名额分给“三校”、“两校”“一校” 三类情况
计算分配总数：

解法二 (挡板法)设想将名额排成一列，则每两个相 邻名额之间可形成共9个空隙，在9个空隙中选6个空隙
插入“挡板”，将名额分割成7段，则第一、二 、„七段名额数可视为分别分给第一、二、„七所学校的名额数
不同的分配方法为
教学过程设计：
估计有些同学可以正确地按解法解题，但独立寻找到解法二很困难，所以可在 充分讨论与解法一相类似的各种
正、误解法后将名额数增加(如增到20个)，使分类的办法显得很繁， 再引入解法二．若有学生已经预习可提出
解法二，则可直接令学生比较两种解法的难易程度．
例6小结：挡板法可使用于解决待分配的元素无差别且每个位置至少分配一个元素的问题中．
四、课堂小结
在解决排列组合应用问题时
1．先确定问题的类型．
2．考虑是否可用特法解决问题．
3．若无法用特殊办法解题，可考虑分别从两组元素入手结 合两个原理的解题方法(特位或特元法)，或是利用排
除法解题．应注意比较不同分析角度所得的解题过 程的难易程度．
4．每种解题方法皆有其适用范围及易错点，应在使用中不断注意分析归纳，以加深对每种方法的认识．
能力训练
1．在1000和9999之间由四个不同数字组成且个位数字和千位数字的差的绝 对值为2，则这样的自然数的个数
为 [ ]
A．896 B．840 C．128 D．448
2．用0，1，2，3，4，5可以组成比400小的自然数的个数是 [ ]
A．80 B．90 C．142 D．143
3．八个人站成一排，其中A，B两人要排在一起，且C要站在D的左边(可不相邻)，则不同的排队方法种数 为
[ ]
A．2520 B．5040 C．720 D．10080
4．集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛1 ，5，7｝定义以A为定义域，B为值域的函数，则不同的函数个数为
[ ]

A．81 B．72 C．36 D．18
5．由0，1，2，3，4，5组成2不在百位，0不在个位的无重复数字的三位数，则不同 的三位数的个数为
[ ]
A．64 B．60 C．84 D．80
6．从0，1，2，3，4，5，6中选出三个不同的数作 为二次函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c，其中a＞b，这样
可以得到的不同的二次函数的个 数为 [ ]
A．90 B．105 C．210 D．35
7．以0，1，2，3，4中的数作为直线方程 Ax+By=0中的系数A，B，则可以表示的不同的直线条数为
[ ]
A．12 B．13 C．14 D．15
8．八人排队，站成前后两排，前后各四人且甲不在第一排，乙不在第二排，则不同的排队方法种数为
[ ]
A．720 B．2880 C．11520 D．576
9．直线x=0，y=0将圆x2+y2=1分成四个区域，用5种不同的颜色给这四个区 域涂色，有公共边的区域颜色互
异，每块区域只涂一种颜色，则不同的涂色办法种数为 [ ]
A．260 B．200 C．250 D．190
10．一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n个车站(n＞1)，则客运车票增 加58种(从甲站到乙站和
从乙站到甲站需要两种不同的车票)，则原有的车站数是 [ ]
A．12 B．13 C．14 D．16
11．三位男生三位女生排成一排，男生与男生不相邻，女生与女生也不相邻，则不同的排队方法种数为 ______．
12．安排甲、乙、丙三人从周一到周六值班，每天一人，每人值两天，但周一不能排 甲，周六必须排乙，则有
______种不同的排班方法．
13．六人站成前后两排，每排三 人，前排的人，要比他正后方的人矮，则不同的排队方法有______种．
14．由1，4，5，x 四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数各位上的数字之和是288，则x=______．
15．方程x1+x2+x3+x4=10的正整数解有______组．
答案提示
1．B 2．D 3．B 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C
9．A 10．14 11．72 12．18 13．90 14．2 15．84
设计说明 < br>排列组合是高中数学教学的难点之一，在教学中感到使用“基本思想反复重复，难度螺旋式上升”的教学方 法效
果比较好．因此，在教学整体安排时，大致可分为三个阶段：第一阶段：基本概念与公式的介绍．着 重于两个
原理、排列组合之间的联系与区别，有一个限制条件的题目的处理．第二阶段：排列组合问题的 基本应用，即
本教案的内容，着重于解题方法的学习．第三阶段：更为复杂的排列组合综合应用，即本教 案的后继课．着重
于各种解题方法的识别与灵活、综合应用，及与其它数学内容的综合应用．
本教案的教学重点应为各种解题基本方法的介绍及互相的联系与区别，所以以“解题方法”组织例题，使方法的< br>使用范围、特点更为清晰．结合第三阶段以“问题”组织例题增强学生对使用各方法的辩析能力，可以帮助 学生
更深刻地理解各种方法，并增强灵活使用各种方法的能力．
本教案在北京四中使用，四中 的学生自学能力比较强，很多方法皆可不经教师提示即有部分学生掌握，则此时
应特别重视学生之间学习 能力与学习习惯的差异，力求尽可能多的学生切实掌握所探讨的各种解题方法，因此
鼓励学生在课上大胆 表述自己的想法，切实认真分析评价学生所提出的解题方案显得尤为重要．