卡通图案-信的女儿

解排列组合问题的四大原则
排列、组合是高中数学的重要内容，新教材中概率与统计的 增加更突出了排
列、组合的重要性．高考对排列组合的考查以两个基本原理——分类加法计数原
理和分步乘法计数原理为出发点，侧重检测解题思想和解题技巧，因而对解题策
略和思维模式的培养和提 炼是平时训练的核心．下面通过具体的例题来解析排列
组合问题的解题策略之“四大原则”．
一、特殊优先原则
该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．
例１ （2003年北京市西城区一模题（文））甲、乙、丙三个同学在课余时
间负责一个 计算机房的周一至周六的值班工作，每天１人值班，每人值班2天，
如果甲同学不值周一的班，则可以排 出不同的值班表有（ ）
A．90种 B．89种
C．60种 D．59种
解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：
① 从除周一的5天中任取2天安排甲有
C
5
2
种；②从剩下的4天中选2天安排 乙
有
C
4
2
种；③仅剩2天安排丙有
C
2
2
种．由分步乘法计数原理可得一共有
22
C
5
2
·C4
·C
2
60
种，即选C．
评注：特殊优先原则是解有 限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素
和有限制的位置一定要优先考虑．
二、先取后排原则
mm
·A
m
A
n
该原则充分体现 了
C
n
m
的精神实质，先组合后排列，从而避免了不必
要的重复与遗 漏．
例2 （2004年高考全国卷Ⅲ）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学
至少 1名教师，则不同的分配方案共有（ ）．
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有
C
4
2
种分法，再将这三组分配
3
·A
3
36
种不同分配方到三所学校 有
A
3
3
种分法，由分步乘法计数原理知一共有
C
4
2

案．
评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列 与组合的综
合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有
A
4
3
种方
·372
种分配方案，法，再将剩下的1名教师分给3所学校有3种 选择，则共有
A
4
3
则有明显重复（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙） ．因此，处理多元素少
位置问题时一般采用先取后排原则．
三、正难则反原则
若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求
的情况入手，再整体排除．
例3 （2004年北京市春招卷）在100件产品中有6件次品，现从中任取3
件产品， 至少取到１件次品的不同取法的种数是（ ）
12
C
94
A．
C
6
12
C
99
B．
C
6

33
C
94
C．
C
100

33
C
94
D．
A
100

解析： 从100件次品中取3件产品，至少有1件次品的对立事件是取到3件
3
全部是正品，即从94 件正品中取3件正品有
C
94
种取法，所以满足条件的不同取
33
 C
94
法是
C
100
，故选C．如果从正面考虑，则必须分取到1， 2，3件次品这三类，
12
C
99
，即从6件次品中没有应用排除法来得简单 ．而本例最易迷惑人的是B：
C
6
取1件确保了至少有1件次品，再从剩下的99件产 品中任取2件即可．事实上
这样分步并不相互独立，第一步对第二步有明显影响，设次品为
AB CDEF
，正品
12
C
99
可以是
ＡＢ
甲，也可能 是
ＢＡ
甲，因而重复． 为甲乙丙丁戊…则
C
6
评注：正难则反 原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易
突破，一般寻找反面途径．利用正难则反原则 的语境有其规律，如当问题中含有
“至少”，“最多”等词语时，易用此原则．
四、策略针对原则
不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不
同的解题方法．
1．相邻问题捆绑法（整体法），相隔问题插空法
例4 （2004年高考重庆卷（理））某校高三年级举行一次演讲比赛，共有