舞蹈培训班-文学名言

排列组合专题之传球问题
【问题】三个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到
甲手中，则不同的传球方式有多少种？
【解法1】（枚举法）
若第一次传给乙，传 球方式可能出现的情况如右图，
经过5次传球后，球仍回到甲手中，不同的传球方
式有5种；若 第一次传给丙，则又有5种；故共有
10种不同的传球方式。
【解法2】（递推法）
设第
k(kN

)
次将球传给甲的方式有
a
k
种，传
k
次球共有
2
种不同的传法，这
2
种传法中，有kk
甲
乙
甲
丙
丙
甲
乙
甲
乙
乙
甲
丙
乙
丙
甲
丙
甲
甲
甲
甲
甲
2a
k种传法的第
k
次不是传给了甲，而第
k
次没
有传给甲时，在第< br>k1
次传球时可传给甲，故第
k
k1
次传给甲的传法
a< br>k1
2
k
a
k
。
a
k
a
k1
b
，则，
k1
kk 1
22
11
代入上式，并整理得
b
k1
b
k

。
22
111
变形得
b
k1
 (b
k
)
，
323
11
{b
k
}< br>是公比为

的等比数列，
32
a
0
。 显然a
1
0
，
b
1

1
1
2< br>111
k1
11
k1
所以
b
k
(b
1
)(),b
k
[1()].

332322
k1k1
得
a
k
[2(1)]
。
3
2
44
当
k5
时，
a
5
[ 2(1)]10
。
3
令
b
k

【推广】
m个人互相传球，（
m2
），甲先发球，并作为第一次传球，经过n次（
n 2
）传球后，
球仍回到甲手中，则不同的传球方法有多少种？
设第
k(k N

)
次传给甲的方式有
a
k
种，由前面分析可知
a
k1
(m1)a
k
。
k

令< br>b
k

a
k
111
b(b)
。 ， 得，变形得
(m1)bb1
k1k
k1k
k
mm1m< br>(m1)
{b
k

b
k

1
1< br>}
是公比为

的等比数列。
m1
m
111
k1
a
1
(b
1
)()
，显然
b
1
0
，
mmm1
(m1)
b
111
k1
m1
()b[(m1)
k1
(1)
k1
]
所以
k
mmm1
。得
k
m
于是
a
(m1)
k
k

m
[1(
1
k 1
m1
)]
。
即
a
m1
[(m1)k1
k

m
(1)
k1
]
。
当
kn
时，
a
m1
n

m
[(m 1)
n1
(1)
n1
].

。