李慧珍的歌-个人委托书格式

排列组合问题的基本类型及解题方法
解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题， 弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排
列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准 确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”，
还有排除法。加法原理的特征是分类解决问题，分类必 须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，
②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解 决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰
并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基 本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与
“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有 类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘； 周
密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。

（一）特殊元素的“优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考 虑其他元素的安排。在操作时，针
对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1：
0,2,3,4,5
这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？
（二）排除法
对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既 不能多减也不
能少减，例如在例
1
中也可以用此法解答：
5
个数字组 成三位数的全排列为
A
5
，排好后发现
0
不能
在首位，而且
3
和
5
不能排在末尾，这两种不合题意的排法要除去，故有
30个偶数．
（三）合理分类与准确分步
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质 进行分类，事情的发生的连续过程分步，做
到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．
例2：
5
个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有
（四）相邻问题：捆绑法
对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其 它元素进
行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
例3：
5
个男生
3
个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？
（五）不相邻问题用“插空法”
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再 将不相邻的元素在已排好的元素之间及
两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合 题意的）.
例4：
5
个男生
3
个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？
（六）定序问题用“除法”消序或选位不排或先定后插
对于某几个元素顺序一定的排列问题， 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总
排列数除以这几个元素之间的全排列数。或先在总 位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，
然后对其它元素进行排列。也可先放好顺序一定元素，再 一一插入其它元素。
例6：
5
人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？
解法一： 先
5
人全排有
A
5
种，由于全排中有甲、乙的全排种数
A< br>2
，而这里只有
1
种是 符合要
52
3
A5
求的，故要除以定序元素的全排列
A
种，所以有
5
=60种。
A
2
2
23
解法二：先在
5
个位置中 选
2
个位置放定序元素(甲、乙)有
C
5
种，再排列其它
3
人有
A
3
， 由
2
2
乘法原理得共有C
5
A
3
=60
种。
解法三：先固定甲、乙，再插 入另三个中的第一人有
3
种方法，接着插入第二人有
4
种 方法，最后插入第三人有
5
种方法。由乘法原理得共有
345=60
种。
（七）列举法探索规律
对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要仔细分析，探索出其中规律，再予以解决。
例10：从1
到
100
的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于
100
，则不 同的取法种
数有 种。
解：此题的数字较多， 情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数中较小的为被加数，
110010110 0
，
1
为被加数的有
1
种；同理，
2
为被加数的有
2
种；
3
为被加数的有
3
种；……；
49
为被加数的有
49
种；
50
为被加数的有
50
种；但
51
为被加数的只有
49
种；
52
为被加数的只有
48< br>种；……；
99
为被加数的只有
1
种，故不同的区法有：
2 3

(123L50)(4948L1)2500
种。
（八）邮筒模型
解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类 元素不能重复。把不能
重复的元素看着“信件”，能重复的元素看着“邮筒”，再利用分步计数原理直接 求解。
例11：
7
名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是 种。
将
7
名学生看着
7
家“邮筒”，五项冠军看着
5名“信件”由分步计数原理得
N=7
种。
（九）相同元素的分配，用档板分隔
例13：
10
张参观公园的门票分给
5
个班，每班至少
1
张，有几种选法？
解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把
10
张票 看成
10
个相同的小球放入
5
个不同的盒内，每盒
至少
1< br>球，可先把
10
球排成一列，再在其中
9
个间隔中选
4
个位置插入
4
块“档板”分成
5
格(构成
5
个
盒 子)有
C
9
种方法。
（十）两类元素的排列，用组合选位法
例16：
10
级楼梯，要求
7
步走完，每步可跨一级，也可跨两级 ，问有几种不同的跨法？
解：由题意知，有
4
步跨单级，
3
步跨 两级，所以只要在
7
步中任意选
3
步跨两级即可。故有
C
7
种
跨法。
注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。
例17： 沿图中的网格线从顶点
A
到顶点
B
，最短的路线有几条？
解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“—”线，
这是两类元素不分顺序的排列问 题。故有
C
7
或
C
7
种走法。
选法？
例18： 从
5
个班中选
10
人组成校篮球队(无任何要求)，有 几种
解：这个问题与例
12
有区别，虽仍可看成
4
块“档板”将10
个球分成
5
格(构成
5
个盒子)，是球与
档板两类 元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故
4
块“档板”与
10
个球一样也要
参与排成一列而占位置，故有
C
14
种选法。
注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。
（十一）分组分配问题：
（1）均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。
（2）非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。
（3）混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。
（4）定额分配：先分组后排列（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。 < br>（5）随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意
平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。

4
34
3
4
5