松香的作用-母亲节素材

排列、组合专题复习
题型一、重复排列问题（即“谁选谁”问题）
应用乘法 原理解题，关键在于分析理解题意。例如：a选b问题，则a只能选择一
个b,而同一个b却能被不同的 a选择（也就是b可以被a重复选）。则以a为主分步考虑每
一个a有几种选法，依次将每一个a选择b 的方法种数相乘即可。
例1：
（1）．5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是（ ）
3
5

（2）．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队， 每人限报其中的一个运动
队，不同报法的种数（ ）。若每个队只许一位学生参加，有（ ）种不同结果？
3;4

43
（3）．火车上有十名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）种
5
10

（4）．有4种不同溶液倒入5只不同的量杯，如果溶液足够多 ，每只量杯只能倒入一种溶液，
有（ ）种不同倒法。
4
5

（5）．3封信进入三个不同的信箱,则进入A信箱中的信件个数X的数学期望是（ ）
1



题型二、染色问题
方法有两 种：一是分步计数原理，逐块涂每块区域（一般到第三或第四块区域会因
为是否第一块同色而分类。）这 是染色问题常用的方法；方法二是分类计数原理，以需要颜
色的种数（最多几种颜色，最少几种颜色，划 分出分类）进行分类，每一类中又需要分步。
例2：
（1）将一个四棱锥的每个顶点染上一 种颜色，并使用同一条棱上的两端异色，如果只有5
种颜色可供选择，求不同的染色方法总数（ ）。
420

（2）椭圆的长轴和短轴把椭圆分成4块，现在用5种不同的颜色给4块 涂色，要求共边两
块颜色互异，每块只涂一色，则一共有多少不同的涂色方案（ ）
260

（3）将3种作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻 的试验田不能种
植同一作物，不同的种植方法共有（ ）种








42


题型三、排列、组合概念及排列数、组合数公式
重点在于正确理解排列 组合的概念，二者有区别也有联系。区别在于排列有序，组和
无序；联系在于，组合是排列的第一步。再 次理解排列的概念即为：在n个不同元素中先取
mmm
出m个元素，然后按照一定的顺序排成一 列（含有两步）故
A
n
C
n
A
m
。
其中
A
n
n(n1)(n2)

n( m1)


m
n!
(nm)!
1
。

例3：
（1） 解不等式
A
9
x
6A
6
x2
答案

3,4,5,6,7,8


（2） 求证：
An
m
1
A
n
m
mA
n
m1< br>
（3） 优化设计第5页“经典例题”中的例1
（4） 规定
C
x
m

x(x1)

(xm1)
m!
，其中< br>xZ,m是正整数，且C
x
0
1
，这是组
合数
C
n
m
（m ,n是正整数，且
mn
）的一种推广。
5
① 求
C


15
② 组合数的两个性质：C
n
m
C
n
nm
，
C
n
m
C
n
m1
C
n
m
1
是否都能推 广到
C
x
m
(xR)
的情
形，若能则给出证明，不能则说 明理由；（略，报纸讲过）
③ 已知组合数
C
n
m
是正整数，证明 ：当
xZ,m是正整数时,C
x
m
Z

当xm,有组 合数C
n
的定义知Cx
当0xm有定义知C
x
0
当x 0则C
x

C
x
(1)
mm
m
m< br>mm
x
Z
x(x1)

(xm1)
m!m!
知（xm1）0,即分子每个因数提取一
(1)C
xm1
Z
mm
个1得
(xm1)

(x1)(x )

题型四、排列、组合应用问题
有限制条件的排列、组合应用问题常有以下方法可以求解，或可转化为以下几种模型
进行求解。

1． 元素分析法（或位置分析法）
此法关键在于明确是元素选位置则特殊元素优 先考虑；位置选元素则特殊位置优先考
虑。如果有两个特殊元素或特殊位置有时会进行分类考虑。
例4：
（1） 从6名运动员中选出4人参加
4100
米接力赛 。
① 若运动员乙、丙起跑不好，不跑第一棒，则有多少种参赛方案？
240

② 若运动员甲不愿跑第四棒，乙不愿跑第一棒，则有多少种参赛方案？
252

（2）用0、1、2、3、4、5则六个数字可组成（ ）个无重复数字且能被5整除的五位数
216

（3）用0、1、2、3、4、5则六个数字可组成（ ）个无重复数字的五位偶数
312

（4）用0、1、2、3、4、5则六个数字可组成（ ）个无重复数字且能被3整除的三位数
40

（5）有8张卡片分别标有数字1、2、 3、4、5、6、7、8，从中取出6张卡片排成3行2列，
421
要求3行中仅有中间行的两 张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ）种
8

（6）从集合

1,2,3,20

中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差 数
2

列可以有（ ）个？等比数列可以有（ ）个？
180;?

（7）甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1 名到第5名的名次。甲、
乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”， 对乙说
“你当然不会是最差的”。从回答分析，5人的名次排列可能有（ ）种不同情况？
54


2． 相邻问题捆绑法
此类问题关键在于 相邻则捆绑，捆绑后看成一个元素于剩余元素一起排列，但排列完之
后一定要松绑（即捆在一起的元素内 部也要排列）
例5：用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻 ，3与4
相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，则这样的八位数有（ ）个
516


3． 不相邻问题插空法
根据题目的特点，首先排 完某些元素，再用不相邻的元素进行插空，这样处理有关排列
组合问题，往往能收到很好的效果
例6：
（1）马路上有9盏路灯，为了节约用电，可以关掉其中的三盏灯，要求关掉的路灯不 能相
3
邻，且不在马路的两头，那么不同的关灯方案共有（ ）种？
C
5
10

（2） 有9个座位排成一排，若3人坐在座位上，每人左右都有空座位，则不同的坐法有（ ）
3
种？
A
5
60

（3）2位男生和3位女生 共5位同学站成一排，若男生甲不站在两端，3位女生中有且只有
两位女生相邻，则不同排法有（ ）种？
24

（4）集合

1,2,,20

的 四元子集中，任何两个元素的差的绝对值都不为1，这样的四元子
4
集的个数为（ ）个？
C
17
2380


4． 间接法（排除法） < br>间接法是求解排列组合问题的常用方法。带有限制条件的排列组合问题，用直接法考虑
对象较为复 杂（正面情况较多），可用逆向思维，使用间接法求解。即先不考虑约束条件，
求出所有排列组合总数， 然后减去不符合条件的排列|、组合种数。
例7：
（1）6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有（ ）种不同的
去法？
2163

4
（2）以一个正方体的顶点为顶点的四面体有（ ）个？
C
8
6658

6
4
（3）以一个正方体的顶点为端点可连成（ ）对异面直线？
3(C
8
66)174

（4）四面体的顶点和各棱的中点共10点，在其中取出4个不共面的点有（ ）中不同取法？
C
10
(4C
6
36)141

44
3

112
（5）n棱柱有（ ）条对角线，有（ ）对角面？
C
n
C
n
(n2n)n3n;

C
n
n
2
n(n3)
2


5． 有固定顺序问题留后法
在有固定顺序的n个不同元素的排列中插入m个不同元素，则这 n+m个元素的不同
排列数为
A
n
m
m
。因为这n+m个 元素的排列需要占n+m个位置，先在这n+m个不同位置中
选出m个位置把m个元素排进去，剩下n个 元素有固定顺序，按原有顺序将这n个元素放
入余下的n个位置即可。
例8：
（1 ）某班新年联欢会原定的5个节目已经排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果
将这两个新节目插 入原节目单中，那么不同的插法有（ ）种？
A
7
2
42
< br>（2）7名高二学生和5名高一学生排成一排，要求高一学生从左到右的高矮顺序不变，不
7同的排法（ ）种？
A
12


6． 隔板法
将n个相同元素放置m个不同位置一般采用隔板法，有两个模型：一是位置不可空有
C
n1< br>种不同放法（将n个相同元素分成m堆，每堆至少一个元素，则需要m-1个板子。这
m1n个元素之间产生n-1个空当，在这n-1个空当中选m-1个空当把板子插进去即可）；二是位
置不可空有
C
nm1
种不同放法（将n个相同元素分成m堆，需要m-1个板子， 位置可空相
当于n个元素和m-1个板子在排队。它们一共需要占n+m-1个位置，则在这不同的n+ m-1
个位置中选m-1个位置把m-1个板子放进去，剩下n个位置放入n个元素即可）。以下重点< br>介绍几个可转化为隔板法模型的题型。
例9：
（1） 高二年级要从3个班级抽取10人参加数学竞赛，每班至少1人，一共有（ ）种不
同的安排方法？
C
9

（2） 某地有9所学校，现有先进教师名额11个，要求每所学校至少有一个名额，共有（ ）
种不同的分配方法？
C
10

（3） 已知方程
xyz10
，则这个方程的正整数解得个数有（ ）个？这个方程的
非负整数解的个数有（ ）个？
C
9
；
C
12
（把10看成10个1，放到x,y,z三个
不同位置。）
（4） 已知两个实数集
A

a
1
,a
2
,,a
50

,B

b
1
,b
2< br>,,b
25

，若从A到B的映射f使
得B中的每个元素都有原像， 且
f(a
1
)f(a
2
)f(a
50
)< br>，则这样的映射有
4
2
8
2
m1
2

24
（ ）个？
C
49
（把
a
i
看成相同元素放入从大到小排列的
b
i
的25个不同位置且位
置不可空）
（5） 12个相同的小球放入编号 为1、2、3、4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小
于其编号数，则不同的放法有（ ）种？
10


注意：将不同元素放入不同位置属于排列问题仍然有两个模型
一是：位置不可空，做法先分堆后分配
二是：位置可空，做法应用乘法原理，属于“元素在选位置”
例10：
（1）4个不同小球随机放入3个不同的盒子，有（ ）种不同放法？若每个盒子至少一个
球，有（ ）种不同放法？
3
4
；
C
4
2
A
3
3

（2）某校安排5个班到 4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一
个班，不同的安排方法共有（ ）种？
C
5
2
A
4
4

（3）甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级上的人不区
322
分位置，则不同 的站法共有（ ）种？
7
3
7336
；或
A
7< br>C
3
A
7
336


以下是排列组合问题中典型的几个题
1．甲、乙、丙、丁4人各写了1张贺卡，放在一起，再 各取1张不是自己所写的贺卡，共
有多少种不同取法？（分步乘法原理解题
33119
）
2．一个有十级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上楼梯的方法？
C
10
C
9
C
8
C
7
C
6
C
5
?

012345
3．如图将一个矩形分成24个 全等的矩形，则从A沿矩形的边走到B的最短走法有多少种？
(A、B分别为大矩形的对角线端点)C
10



















4

4.某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会 印刷，还有2人既会排版又会印刷。
现从这11人中选出4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？< br>185

5.将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中。若每 个信封放2张，其
中标号为1、2的卡片放入同一信封，则不同放法共有（ ）种？
18
（2010高考）

二项式的考察重点放在二项展开式 的特殊项的求解以及系数的相关
问题。求解思路利用通项及赋值法。
以下给几个2010年各省高考题以做练习：
5

a

1.若

x

的展开式中
x
3
的系数是
84
，则
a
（ ）
a1
（2010高考）
x

9

xy

3
2.

。
15



展开式中，
x
的系数等于（ ）

y

x

6
3.
(1xx
2
)(x 
4.在
(x
4
1
x
。
5

)
的展开式中的常数项为（ ）
6
3y)
20
展开式中，系数为有理数的项共有（ ）项.
6

以下是二项式中几个比较典型的证明问题：
123nn15.求证：
C
n
2C
n
3C
n
nC
n
n2

证明一、利用公式
kC
n
k
 nC
n
k


1
1
转化求和
证明二、倒序求和法
注：此题在优化设计16页能力提升第三小题。由此题引申改编为另一题 （在报纸第一章水
平测试B卷）
012nn
是否存在等差数列

a
n

，使
a
1
C
n
a
2
C
n
a
3
C
n


a
n 1
C
n
n2
对任意
nN

都成
立？若 存在，求出数列

a
n

；若不存在请说明理由。
6.若
nN
，求证：
2n
2
2n
2n
2n< br>C
2n
2
01
n2n

n2nn
证明一 、
2(11)
2n
C
2n
C
2n
C< br>2n
C
2n
C
2n

2n
又
2(11)C
2n
C
2n
C
2n
 C
2n
2C
2n
C
2n
C
2n< br>01n2n122n1

rn
1
、
2
、
2n)

且
C
2n

C
2n
(r

0
、< br> 所以
2
2
2n
2C
2n
C< br>2n


C
2n
122n1
2nC
2 n
(当n1时取等)

n
2n
所以
2n
2
C
2n

2n
n
综上知

2n
C
2n
2
n2n

6


C
n
2n

2n!
n!n!n

2n(2n1)(2n2)

21
n!n!
n1
1
k

2(2n1)(2n3)

31
n!
n
证明二、
2
2n12(n1)1
n
2


31
21

对于

2k1
k

2(k

1,2,3

n)

31
21
2

n
2n12(n1)1
nn1


C
2
n
n
2
2n

n
2n< br>
C

2n!
n!n!
2
n

2 n(2n1)(2n2)

21
n!n!
n2

3
1
1

2(2n1)(2n3)

31
n !
n

2n12(n1)1
n1n
对于
2k1< br>k1k
2n12(n1)13
n1

12
< br>n1n21
n
2n

2

1

2(k

1,2,3

n)

C
2
n
n
2
2
n1

2
2n
2n

2n
当n=1时
2n
2n
C
2n

1< br>C
n
2n

2
2n
n
对nN


2
2n
2n
C
2n
2
2n

以上两种解法是类似这类题的主要证明思路，以供参考
有关答案后续，请同学们关注（若题目 有明显错误请勿深究，原谅老
人家年事已高。）希望同学们能把2010年第20题（概率题）在考试< br>之前做一下，最新的信息往往时出题老师关注的点。下面再附上2008
—2009排列组合题。 （答案明天揭晓，今天没时间了）
7