排列组合问题2:加法原理和乘法原理

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2021年01月10日 15:02
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2021年1月10日发(作者:尹希古)


加法原理和乘法原理
导言:

加法原理和乘法原理,是排列组合中的 二个基本原理,在解决计数问
题中经常运用。把握这两个原理,并能正确区分这两个原理,至关重
要。
一、概念
(一)加法原理
如果完成某件事共有几类不同的方法,而每类方 法中,又有几种不同
的方法,任选一种方法都可以完成此事,那么完成这件事的方法总数
就等于 各种方法的总和,这一原理称为加法原理。

例:从甲地到乙地,一天中火车有4班,汽车 有2班,轮船有3班,
那么,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同的走
法?
解析:把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。要完成从甲地到乙
地这件事,可以乘火车,也 可以乘汽车,还可以乘轮船,一天中,乘
火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法。而乘 坐火


车、汽车、轮船中的任何一班次,都可以从甲地到乙地,符合加法原
理。所 以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的4种走法+乘汽车的2种
走法+乘轮船的3种走法=9种不同的走 法

(二)乘法原理
如果做某件事,需要分几个步骤才能完成,而每个步骤又有 几种不同
的方法,任选一种方法都不能完成这件事,那么完成这件事的方法总
数,就等于完成各 步骤方法的乘积。
例:用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数?
解析: 要完成组成一个三位数这件事,要分三个步骤做,首先选百位
上的数,再选十位上的数,最后选个位上的 数。
选百位上的数这一步骤中,可选1、2、3、4任何一个,共4种方法
选十位上的数这一步骤中,可选除百位上已选好那个数字之外的三个
数字,共3种方法
选个位上的数这一步骤中,可选除百、十位上已选好的两个数字之外
的另两个数字,共2种方法
单独挑上面的任何一步中的任何一种方法,都不能组成一个三位数,
符合乘法原理


所以,可以组成:4×3×2=24(个)不同的三位数
二、加法原理和乘法原理的区别
什么时候使用加法原理,什么时候使用乘法原理,最关键是要 把握住
加法原理与乘法原理的区别。从上面两个例子我们容易发现,加法原
理与乘法原理最大的 区别就是:如果完成一件事有几类方法,不论哪
一类方法,都能完成这件事时,运用加法原理,简称为“ 分类-----
加法”;如果完成一件事要分几个步骤,而无论哪一个步骤,都只是
完成这件事 的一部分,只有每一步都完成了,这件事才得以完成,这
里运用乘法原理,简称为“分步---- 乘法”。

三、加乘法原理的综合应用
有时候,做某件事有几类方法,而每一类 方法又要分几个步骤完成。
在计算做这件事的方法时,既要用到加法原理,也要用到乘法原理,
这就是加乘法原理的综合应用。
例:从甲地到乙地有4条路可走,从乙地到丙地有2条路可走,从甲< br>地到丙地有3条路可走,那么,从甲地到丙地共有多少种走法?
解析:从甲地到丙地共有两大类 不同的走法:可以直接从甲地到丙地,
也可以从甲地先到乙地再到丙地,选择任何一类方法,都可以从甲 地
到丙地,符合加法原理;而在第二类方法中(即从甲地先到乙地再到


丙地), 又分两步完成:第一步从甲地先到乙地,有4种走法,第二
步再从乙地到丙地,有2种走法,这里的任何 一种方法都不能完成从
甲地到丙地这件事,符合乘法原理,这时共有4×2=8种走法。
所以从甲地到丙地总的走法=第一类方法+第二类方法
=3+4×2=11(种)

四、加法原理和乘法原理的应用
例1.(数字排列问题)用数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有
重复数字的三位数?
解析:组成一个三位数,要分三个步骤,先选百位数,再选十位数,
最后选个位数,使用乘法原 理
5×4×3=60(个)

例2.(数字排列问题)一种电子表6点24分3 0秒时,显示数字是:
6:2430,那么从8点到9点这段时间里,此表5个数字都不相同的情
况一共有多少种?
解析:在8点到9点间,电子表的第一位数字肯定8,在这段时间内
是固 定不变的,可以不考虑;第2位和第4位的取值范围只能是0、


1、2、3、4、5,第 3位和第5位只能从0、1、2、3、4、5、6、7、
9。题中要求5个数字各不相同。所以我们要分 开来考虑:
①第2位到第5位只取0----5中的数,有6×5×4×3=360种情况
②第2位和第4位只取0--- 5中的数,而第3位和第5位只取6、7、
9中的数,有6×5×3×2=180种情况
③第2位、第3位和第4位只取0--- 5中的数,第5位只取6、7、9
中的数,有6×5×4×3=360种情况
④第2位、第4位和第5位只取0--- 5中的数,第3位只取6、7、9
中的数,有6×5×4×3=360种情况
所以,此表在8 到9点间5个数字不同的情况共有:
360+180+360+360=1260种

例3.(数字排列问题)从1到400的所有自然数中,不含数字3的
自然数有多少个? 解析:在一位数前面添两个零,如把2写成002;在两位数前面添一
个零,如把12写成012, 这样,1—400中的数全成了“三位数”了,
除去数字400外,考虑不含数字“3”的这样的“三位 数”的个数,
分三步考虑:百位、十位、个位上不含数字“3”,符合乘法原理。


百位上可取0、1、2,有三种取法;十位上都可取0、1、2、4、5、6、
7、8、9,有9种取 法;个位与十位情况一样,也有9种取法。根据
乘法原理,这样的数有:3×9×9=243(个)。数 “000”不合要求,
另外还需要补上符合要求的数“400”,所以不含数字“3”的自然数
有:243-1+1=243(个);(提示:这243个数中,有首位是“0”的,
把“0”删掉,就 成了一位数和两位数,不影响最后的个数。)

例4.(站队排列问题)有6个同学排成一排照相,共有多少种不同
的站法?
解析: 6人中任何一位的位置换了,就是一种站法。把这6个位置用
字母表示为:A、B、C、D、E、F。要 排成一排,要分六步,依次排A、
B、C、D、E、F这六个位置,使用乘法原理;A位置中有6种站法 ,B
位置中就只剩5种站法、、、、、如此下去,F位置上就只剩1种站
法,根据乘法原理,总 的站法是:6×5×4×3×2×1=720种不同的
站法
思考:看看下题与例4有何区别,又如何解答
A、B、C、D、E 5人排成一排,如果C不站在中间,一共有多少有种
不同的排法?


例5.(取物排列问题)有5件不同的上衣,3条不同的裤子,4顶
不同的帽子,从中取出一顶帽子、 一件上衣和一条裤子配成一套装束,
最多有多少种不同的装束?
解析:要完成一套装束要分三 步完成,先取帽子,再取上衣,最后取
裤子,而每一步分别有4、5、3种不同的方法,根据乘法原理, 共有
4×5×3=60种不同的装束

例6.(信号排列问题)有5面颜色不同的 小旗,任意取3面排成一
行表示一种信号,问:一共可以表示多少种不同的信号?
解析:一种 信号上有三个位置,要完成一种信号要分三步选好这三个
位置上的小旗。而每个位置上依次有5、4、3 种不同的选小旗的选法,
根据乘法原理,一共可以表示:5×4×3=60种不同的信号。

例7.(涂色问题)如图,用红、绿、蓝、黄四色去涂编号为1、2、
3、4号的长方形,要求 任何相邻的两个长方形的颜色都不相同,一
共有多少种不同的涂法?
1
3
2
4


解析:要分4种情况考虑:
① 1、2、3、4号长方形颜色都不相同,根据乘法原理,有4×3×2
×1=24种涂法
②只有1、4号长方形同色,有4×3×2=24种
③只有2、3号长方形同色,有4×3×2=24种
④2、4和1、3号长方形分别同色,有4×3=12种
最后用加法原理
共有24+24+24+12=84种不同的涂法

例8.深圳市的电话号码全是8位数,若前3位只能用1---- 9这9
个数字,则深圳市可以安装多少台不同的电话号码的电话?
解析:要确定一个电话号码 ,就必须确定8位数上各个位置的数字,
要分八个步骤完成。使用乘法原理。根据题目要求,先确定电话 号码
前3位数字的取法,由于数字可以重复,前3位上的每一位置上都可
以取1、2、3、4、 5、6、7、8、9中的一个数,各有9种取法。电话
号码中的后5位的每一个位置上都可以取0、1、 2、3、4、5、6、7、
8、9,各有10种取法。


根据乘法原理,共有不 同的电话号码的电话:9×9×9×10×10×10
×10×10=72900000台

例9.(棋子排列问题)如图,现在要把A、B、C、D、E 5个棋子放
在方格里,每行和每列只能出现一个棋子,一共有多少种放法?

























解析:要将5个棋子放入格子中,要分5步完成。第一步先放A,有< br>5×5=25个方格就有25种不同的放法;第二步放B,对应A的放法,
由于不能在同一行与同 一列,B放的行数和列数都会减少1,所以只
能放在4×4=16个格子里,有16种放法;同理可推出 ,第三步放C,
有3×3=9种放法;第四步放D,有2×2=4种放法;第五步放E,有
1× 1=1种放法。根据乘法原理。总的放法有:25×16×9×4×1=14400

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