白酒行业报告-恐惧的反义词

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
组合数学基础-
问题与练习
（陶平生）

基本内容与方法：组合 计数；组合构造；组合结构；映射与对应；分类与染色；归纳与
递推；容斥原理；极端原理；调整法；补 集法；数形结合法，等等．

1
、设
M
为
n
元集 ，若
M
有
k
个不同的子集
A
1
,A
2,,A
k
，满足：对于每个
i,j

1,2,
,k

，
A
i
A
j

，求正整数< br>k
的最大值．
将前九个正整数
1,2,
2
、
求出所有不同分法的种数．

每组三个数，使得每组中的三数之和皆为质数；
,9
分成三组，
3
、 设正整数
a
的各位数字全由
1
和
2
组成，由其中任意
k

k2

个连续数位上的数
字所组成的
k
位数，称为数
a
的一个“
k
段”；若数
a
的任两个“
k
段”都不相同．
证明：对于具有这种性质的最大正整数
a
，其开初的一 个“
k1
段”和最后的一个“
k1
段”必定相同.

4
、将数集
A{a
1
,a
2
,...,a
n}
中所有元素的算术平均值记为
P(A)
，
（
P(A)a
1
a
2
...a
n
）. 若
B
是
A
的非空子集，且
P(B)P(A)
，则称
B
是A

n
的一个“均衡子集”．
试求数集
M{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
的所有“均衡子集”的个数．

5
、某校有
2010
名新生，每人至少认识其中
n
人，试求
n
的最小值，使得其中必存在
彼此认识的
16
个人.

6
、有
n

n2

名运动员，其编 号分别是
1,2,,n
，在一次活动中，他们以任意方式站
成了一排. 如果每次允许将其中一些人两两对换位置，但在同一轮操作过程中,任一人至多
只能参与一次这种对换.
证明：至多只需两轮这样的操作，可使队列变成
1,2,,n
的顺序排列.

7
、称自然数
a
开初若干位数字组成的数为
a
的“前缀”. 例如，
2,20,201,2011
都是
数
2011
的“前缀”.
证明：对于任一给定的正整数
M
，存在正整数
n
，使
M为
2
的“前缀”.
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
1
n< /p>

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
8
、对于
2n
元集合
M

1,2,,2n
< br>，若
n
元集
A

a
1
,a
2,
nn
,a
n

，
B

b
1
,b
2
,
且

a
k

b
k
，则称
AB
是集
M
,b
n
满足：
ABM,AB
，
k1k1
的一个“等和划分”（
A
试确定集
M

1,2,

B
与
B
．
A
算是同一个划分）
．
,1 2

共有多少个“等和划分”
9
、对于由前
2n
个正整数构 成的集合
M{1,2,
两个
n
项的数列：
A(a
1,a
2
,
,2n}
，若能将其元素适当划分，排成
,b
n
)
，使得
a
k
b
k
k,k1,2,,n< br>，
,a
n
),B(b
1
,b
2
,
则称
M
为一个友谊集，而数列
A,B
称为
M
的一种友谊排列 ，例如
A(3,10,7,9,6)
和
B(2,8,4,5,1)
便是 集合
M{1,2,
(1
0
)
、证明：若
M{1,2,< br>(2
0
)
、确定集合
M
1
{1,2,


3,10,7,9,6

；
,10}
的一种友谊排列， 或记为


2,8,4,5,1

,2n}
为一个友谊集 ，则存在偶数种友谊排列；
,8}
及
M
2
{1,2,,10}
的全体友谊排列． < br>、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌各
13
张，
10
、一副 纸牌共
52
张，其中“方块”
标号依次是
2,3,
，
,10 ,J,Q,K,A
，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”
并且
A
与
2
也算是顺牌（即
A
可以当成
1
使用）.
试确定，从这副牌中取出
13
张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取
牌方法数．

11
、一副三色牌，共有纸牌
32
张，其中红黄蓝 每种颜色的牌各
10
张，编号分别是
1,2,,10
；另有大小王牌各一张， 编号均为
0
，从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规
k
则计算分值：每张编 号为
k
的牌计为
2
分，若它们的分值之和为
2004
，就称 这些牌为一个
“好”牌组．
试求 “好”牌组的个数．

12
、奥运会排球预选赛有
n
支球队参加，其中每两队比赛一场，每场比赛必决出胜负，
如 果其中有
k
（
3kn
）支球队
A
1
,A
2
,,A
k
，满足：
A
1
胜
A
2
，
A
2
胜
A
3
，…，
A
k1
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
2

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。 胜
A
k
，
A
k
胜
A
1
，则称 这
k
支球队组成一个
k
阶连环套；
证明：若全部
n
支球队组成一个
n
阶连环套，则对于每个
k
（
3kn
）及每支球队
A
i

1in

，
A
i
必另外某些球队组成一个
k
阶连环套.

13
、任意给定
n

n2

个互不相等的n
位正整数，证明：存在
k

1,2,,n

，使得
将它们的第
k
位数字都删去后，所得到的
n
个
n1
位数仍互不相等.

14
、桌面上放有
2011
枚硬币，其中有 的正面朝上，其余的正面朝下，今有
2011
人依
次按如下方法翻转硬币：第一人翻转 其中的一枚，第二人翻转其中的两枚，…，第
k
人翻转
其中的
k
枚， …，第
2011
人则将
2011
枚硬币全部翻转．
证明：不论硬币 最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当的步骤，使得
2009

1

、
人都操作之后，恰使所有的硬币朝同一个方向；

2

、硬币最后的统一朝向，只依赖于初始分布，而与具体的翻币方案无关．

15
、平面上任给
16
个点，每两点间的距离不超过
1
；
1
证明：其中必有两点，它们间的距离不超过
2
．
4
< br>16
、某选区有
1000
个选民，分别持有编号为
000,001,0 02,
100
个投票站，编号分别是
00,01,02,
,999
的 选票，选区共设有
,99
．选区制定了一条法律：规定选民
z
如果要将
选票投到票站
A
，只有当该选民所持有的选票号码中，若去掉其中某一数码后，剩下的两位数恰好就是该票站的号码时方可进行，（例如，持
135
号票的选民，只能到
1 3,15,35
号票
站之一去投票）；
问，在这一法规下，该选区最多可以关闭多少 个投票站，使得剩下的投票站还能确保
选举照常进行？

17
、在平面直角 坐标系中给定
100
边形
P
，满足：

1
0

、
P
的顶点坐标都是整数；

2

、
P
的边都与坐标轴平行；

3

、
P
的边长都是 奇数．

00
证明：
P
的面积为奇数．



18
、
mn
矩形
ABCD
的一组邻边之长为 ：
ABm,ADn
，其中
m,n
是互质的正
奇数，该矩形被分割 成
mn
个单位正方形，设矩形的对角线
AC
与这些单位正方形的边相交，顺次得到交点
A
1
,A
2
,,A
k
（其中A
1
A,A
k
C
）．
3
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
试求


(1)
j1
k1
j1
A
j
A
j1
的值．
19
、边长为
n
的菱形
ABCD
, 其顶角
A为
60
o
,今用分别与
AB,AD
及
BD
平行 的三
组等距平行线，将菱形划分成
2n
2
个边长为1的正三角形
( 如图所示).试求以图中的线段为边的梯形个数
s

n

.

20
、某学校有
2011
名学生，学号分别是
1,2,< br>分别编号为
1,2,
,2011
，该校的会场恰有
2011
个 座位，
,2011
，学生的每次集会都是不用对号入座的；如果在一次集会中，任一
, a
k
n
的学生，其座位号集个学号为
k
的学生都不坐在
k< br>号位，且任意
n
个学号为
a
k
1
,a
k2
,
合

k
1
,k
2
,,k
n

异于学号集合

a
k
1
,a
k
2
,,a
k
n
，（其中
1n2011
，
a< br>m
为坐在
m
号位置
,a
2011
，

上的学生的学号），就称这种坐法是“奇特”的．对于每种“奇特”坐法

：
a1
,a
2
,
令
M



< br>
2011
k1


a
k
k

，求
M



的最小值，并确定达到最小值时的所有入座情 况．
2
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
4