(完整word版)高中数学排列组合中的分组分配问题.doc
听妈妈的话吉他谱-拿来主义原文
排列组合中的分组分配问题
分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
实际上可运用分配问题的方法来解决。
某些排列组合问题看似非分配问题，
谈谈自己在教学
下面就排列组合中的分组分配问题，
中的体会和做法。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
一、
提出分组与分配问题，澄清模糊概念
n
个不同元素按照某些条件分配给
向分配两种问题；将
k
个不同得对象，称为
分配问题 ，分定向分配和不定
k
组，称为分组问题
.分组问题有不平
前者组与
n
个不同元素按照某些条件分成
均分组、平均分组、
和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，
组之间只要元素个数相同是不区分的；
而后者即使
2 组元素个数相同， 但因对象不同， 仍然
是可区分的 .对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题
例 1
六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
2 2 2
(1) 每组两本 .
(2)
一组一本，一组二本，一组三本
.
(3) 一组四本，另外两组各一本 .
分析： (1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是
C
6
C
4
C
2
=90(种 )
，这 90 种分组实
际上重复了 6 次。我们不妨把六本不同的书写上 1、 2、 3、 4、 5、 6
六个号码，考察以下两
种分法： (1， 2)(3，4)(5， 6)与 (3，
4)(1， 2)(5， 6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，
又与顺序无关，
所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，
3
3
因
此还应取消分组的顺序， 即除以组数的全排列数
1
A
，所以分法是
C C
C
3
2 2
6
4
2
2
=15(种)。(2)先分
2
3
3
A
3
组，方法是
C
6
C
5
C
3
，那么还要不要除以
A
3
？我们发现， 由于每组的书的本数是不一样的，
1 2 3
因此不会出现相同的分法，即共有
4 1 1
C
6
C
5
C
3
=60(种)
分法。
(3)分组方法是
C
6
C
2
C
1
=30(种
)
，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组
的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，
不可能重复。所以实际分法是
C
6
C
2
C
1
4 1 1
2
=15(种 )。
A
2
通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
二 本 、
1： 一般地， n 个不同的元素分成
p ，各 内元素数目分 m
1
， m
2
，⋯，
m m
m
p
C
n
1
C
n
2
m
1
C
m
n
3
m
1
m
2
C
m
p
m
p
，其中 k 内元素数目相等 ，那么分 方法数是
k
。
A
k
三、基本的分配的
(一 )定向分配
例 2 六本不同的 ，分
甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方
法？
(1)
甲两本、乙两本、丙两本 .
(2) 甲一本、乙两本、丙三本 .
(3)
甲四本、乙一本、丙一本 .
分析：由于分配 三人，每人分几本是一定的
,属分配 中的定向分配 ，由分布
数原理不 解出：分 有
2
6
2
4
2
2
1 2
=90(种 )，
C
6
C
5
C
3
3
=60(种 )，
4
6
1
2
1
1
=30(种 )。
C C C
C C
C
(二 )不定向分配
例 3 六本不同的 ，分
甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1) 每人两本 .
(2) 一人一本、一人两本、一人三本
.
(3)
一人四本、一人一本、一人一本
.
分析：此 属于分配中的不定向分配 ， 是
中比 困 的 。 由于分配 三人，同一本 不同的人是不
同的分法，所以是排列 。
上可看作“分 三 ，再
2 2
将 三
分 甲、 乙、丙三人”，因此只要将分 方法数再乘以
A
6 4
2
2
3
3
，即
C
C
3
C
A
3
3
=90(种 )，
A
3
4 1 1
C
1
C C
2 3
A
3
C
6
C
2
C
1
3
6 53 3
=360(种)
2
A
3
=90(种
)。
A
2
2. 一般地，如果把不同的元素分配 几个不同 象，并且每个不同 象可接受的
元素个数没有限制，那么 上是
先分 后排列 的 ，即分 方案数乘以不同
象数的
全排列数。
通 以上分析不 得出解不定向分配 的一般原 ：
先分 后排列 。
例 4 六本不同的 ，分
甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本 和甲、乙、丙三人都有“ 宿”，即
要分完，人不能空手。因此，考
先分 ，后排列。先分 ，六本 怎么分 三 呢？有三
分法
(1)每 两本 (2)分 一本、
三 本 (3) 两
各 一 本 ， 另 一
四 本 。 所 以 根 据 加 法 原 理 ，
分
法 是
2
6
2 2
C C C
1 2
3
C
4
6
C C
1
2
2
1
3
4 2
3
+
C
6
C
5
C
3
+
1
=90(种 )。再考虑排列，即再乘以
A
3
。所以一共有 540 种不
A
3
A
2
同的分法。
四、分配问题的变形问题
例 5 四个不同的小球放入编号为
1，2，
3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多
少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为
1，1，2。实际上可转化为先将
四个不同的小球分为三组，两组各
1 个，另一组 2 个，分组方法有
C
4
C
3
C
2
2
1 1 2
(种
)，然后将这
A
2
三 组 ( 即 三 个 不 同元 素 )
分 配 给 四 个 小盒 ( 不 同 对 象 ) 中 的 3
个 的 排 列 问 题 ，
即 共 有
1
4
1
C C C
2
3
3 2
2
A
4
=144(种)。
A
2
例 6
有甲、乙、丙三项任务，甲需
人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4
分析：先考虑分组，即
有
10 人中选 4
人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共
C
1
10
C
C
2
(种 )分法。再考虑排列，甲任务需
A
2
1
9
2
8
2 人承担，因此 2 人的那个组只能承担甲任
1
10
1
9
2
8
2
种 )
A
2
=2520(
务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有
C C
C
2
A
2
不同的选法。
例 7 设集合 A={1，2，
3，4}，B={6， 7，8}，A 为定义域， B 为值域，则从集合
A 到集合
B 的不同的函数有多少个？
分析：由于集合
A 为定义域， B 为值域，即集合
合 B 的每个元素接受集合
的问题。先考虑分组，集合
1
4
有
C C
A、B
中的每个元素都有“归宿”
，而集
A
中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配
A 中 4
个元素分为三组，各组的元素数目分别为
1、1、2，则共
1 1
4
3
2
2
3
A
3
=36(个
)
1
3
2
C
(种)分组方法。 再考虑分配，
即排列， 再乘以
A
3
3
2
2
C C
，所以共有
2
C
A
2
A
2
不同的函数。
掌握上述两个结论， 就能顺利解决任何分配问题。 学会了分配问题，
还能将一些其他的排
列组合问题转化为分配问题来解决。