郑州师范大学-二月二日江上行

例析立体几何中的排列组合问题

过月圆 春晖中学在数学中， 排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体
现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是 高考命题的新趋势，体现
了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体
几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，
下面列举
立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1 点


1．1 共面的点


11997
年全国高考（文））（例

A3A
在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取

）
一平面上，不同的取法有（

A30 B33 C36 D39
种种． 种．．．种
4666A
所解析：四面体有个中点，
每个面上的 个顶点，个点共面。点条棱有


34AA
个面内，共有在点组合有个，点在 的每个面中含个组合；点的
A6333
点与这条棱对棱的中点共面。条棱的个点，这条棱上，每 条棱上有在

A
共面的四点组合共有个。所以与点

B
答案：
97
文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相
像能力； 属
3
点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有
把每条棱上的 算在内。
1．2 不共面的点


21997
年全国高考（理））（例

104
个不共面的点，不同 的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点
共

） （
A150 B147 C144 D141

种．种．种．种．

410 4
点 共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中

有种；第二类，取任一 条棱上类，取出的
346

4
个点位于四面体的同一个面内，
种；第 三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有
43
种。
形，它的 个顶点共面，有

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。

D
答案：。点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像
能力 要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则
反易的解题技巧 及分类讨论的数学思想。
2 直线

例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））
过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）
A．18对 B．24对 C．30对 D．36对



分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。
解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。
例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。
侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线；
例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5 条
与其异面的直线；
例: 与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数

两遍。共有。
法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构


故共有异面直线。 成四面体的个数为：D
答案：点评：解法一是例举法，把符合要求的所 有的情况全列出来，列举时一定
要按一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太 大的情
况常给人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是
利用影 射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。
3 平面

例4 α、β是两个平行平面，在α内取4个点，在β内取5个点，这9个点最
多能确定多少个平面？
解析：
例5（2002年全国高考）
从正方体的六个面中选3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
解析：

4 模型


4．1 平面多边形

例6（2004年高考·湖南卷） 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角
形，其中直角三角形的个数为（ ）
A．56 B．52 C．48 D．40
解析：由于正方体各个顶点的位置一样，故可研究一个顶点，比如B点。以B
为






,共,,直角顶点的三角形有：,,6个，

。故正方体中共有．
答案：C


点评：在中直角顶点只有一个，从直角顶点出发考虑问题可避 免重复，正方体中
各顶点位置均等，抓住这一点也是问题解决得关键。

4．2 空间多面体

例7 从正方体的八个顶点中任取四个点，所取的四个点中能构成四面体的取法
共有____________。

5 其它

例8（2005年高考·江苏卷）
四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点 的两条棱所代表的化工

产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产 品放在同一仓
库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，
那 么安全存放的不同方法种数为（ ）
A．96 B．48 C．24 D．0



解析：如图所示，与每条侧棱异面的棱分别为2条。例如侧棱SB与CD、AD棱
异 面。以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个


（种）种。从而安全存放的不同放法种数为仓库中，计B
答案： 条棱的关系来处理化工产品的存放种数，8本题用四棱锥的]点评[