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微专题 “隔板法”模型的构建与应用
隔板法
隔板法 是将n个相同元素分成m组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解 许多排列、组合问题.

m1
(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有< br>C
n
即给n个元素中间的（
n1
）
1
种，
个空隙中插入（
m1
）个隔板.
m1
(2)任意分组，可出现某些组 含0个元素的情况，其不同分组方式有
C
n
即将
n
个
m 1
种，
相同元素与（
m1
）个相同隔板进行排序，在（
nm1
）个位置中选（
m1
）个安排隔
板.
典例解析
题型一：每盒非空
例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒 至少放入1个小
球），有 种不同的装法.
解析：将10个小球排成一排， 在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样
就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其 中一种装法.



图1
1

将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所 求的装法数，装法共有
2
C
9
36
（种）.
例2.求方 程
x
1
+
x
2
+…+
x
5
=7的 正整数解的个数.
解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有
x
1
、
x
2
、…、
x
5
的5个不同的盒子表示
未知数x
1
、
x
2
、…、
x
5
，要得到方程
x
1
+
x
2
+…+
x
5
=7的正 整数解的个数.
可分以下两步完成:
第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法；
第二步：把剩 余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有
C
6
种放法.由分步
计数原理知，共有
C
6
种不同放法.我们把标有
x
i
（i= 1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数
k
i
（i=1，2，…，5;
k
i
N

4
4
），记作：
x
i
=
k
i
.这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒

子中的每一种放法，就对应着方程
x
1
+
x
2
+… +
x
5
=7的每一组解（
k
1
，
k
2，…，
k
5
）.
42

C
6
=
C
6
=
65
=15（个） 21
所以，方程
x
1
+
x
2
+…+
x
5
=7的正整数解共有15个.
点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法 求方程
x
1
+
x
2
+…+
x
5
= 7的非负（或正）
整数解的个数的理论依据.
题型二：每盒至少有
n
个
例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的
分法.
解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线 的方法分给
3
165（种）
4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分 法共有
C
11
.
题型三：每盒分别有
n
1
,n< br>2
,

,n
m
个
例4.将20个相同的小球全部放 入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不
少于它的编号数，则不同的放法有 种.
解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分
到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放
2< br>45（种）
法共有
C
10

题型四：每盒可空
例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？
解析：取3块相同隔板，连 同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在
11个位置中任取3个位置排上隔板，共有 C
11
种排法.

C
11
=
3
3
11109
=165(种)
321
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.
点评 ：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒
子数少1.
10
例6.求
(x
1
x
2
x
5)
展开式中共有多少项？
解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有
x
1
、
x
2
、…、
x
5
的5个不同的盒 子表
示数
x
1
、
x
2
、…、
x
5
，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有
x
i
（i=1,2,… ,5）
每个盒子得到的小球数
k
i
（i=1，2，…，5;
ki
N
），记作
x
i
的
k
i
次方.这 样，将10个

相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就 对应着展开式中的每一项.由隔板法知，
10
44
这样的放法共有
C
14
种，故
(x
1
x
2
x
5
)
的展开式中共有
C
14
项。

C
14
=
4
14131211
=1001（种）。
4321
10
所以，
(x
1
x
2
x
5
)
展开式中共有1001项.
点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求展开式中的项数的理论依据.
例7.方程
xyz10的非负整数解的组数为 .

解析：添加三个“1”，令
x
1
x1,y
1
y1,z
1
z1,
这样原问题就转化为求
2
66.
x
1
y
1
z
1
13
的正整数 解的组数，利用隔板法可得解的组数为
C
12
例8.试求不定方程
x
1
x
2
x
3


x
m
n (nm2)的非负整数解的组数
.
解析：由于
x
i
0(i 1,2,3,m),所以令x
i
y
i
1,则y
i
1 ,
故原不定方程非负整数解的组
数与方程
y
1
y
2
y
m
nm
的正整数解的组数相同.
设想有
(nm)
个“1”，将它们排成一排，每两个“1”之间有1个空隙，共有
(nm1)
个< br>空隙，用划竖线的方法将这些
(mn)
个“1”分成
m
段，每段内“ 1”的个数为一组
(y
1
,y
2
,y
m
),即方程
y
1
y
2
y
m
nm
的一组正整数解.
m1m1
由于划竖线的方法数为
C
mn1，故原不定方程非负整数解的组数为
C
mn1
.
1.某校召开学生 会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1
个名额，又有多少种不同分法 ？
解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到
6个不同的班级中，适合隔板法.将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至
少1个名额 ，可分以下两步完成.第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将
剩余的4个名额分到这6 个班里，由隔板法知，此时，有C
9
种不同分法.由分步计数原理
知，共有C
9
种不同分法.
C
9
=C
9
=
5
4
5
5
9876
=126（种）
4321
答：某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中 ，若每班至少
1个名额，有126种不同分法.
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。
2.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，

使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
思路一
（1）、先分组再分配。根据题意，先从4个盒子中选三个放置小球有
C
4
种方法。
（2）、将4个白球分成1、1、2三组分别放入三个盒子，有
C
3
种放法（因为小球完全相同，
所以可以从3个盒子中选一个放2个小球）。 （3）、将5个黑球分成1、1、3三组或者2、2、1三组分别放到三个盒子中，各有
C
3
种放
法。
（4）、将6个红球分成2、2、2或者1、2、3或者1、1、4三组 ，放到三个盒子中分别有1
1
1
3
C
种、
A
33
种、
3
种放法。
C
由分步计数原理可得
C
4
C
3
（
C
3
+
C
3
）（1+< br>A
3
3
+
3
）=720种
思路二
（1）、先从4个盒子中选三个放置小球有
C
4
种方法。
（2）、 注意到小球都是相同的，不妨给选出的盒子中分别放置三个颜色的小球各一个，先保
证每个盒子中球的颜 色齐全。现在剩下了1个白球、2个黑球、3个红球。
（3）、1个白球有
C
3种放法。2个黑球可能放到一个盒子中也可能分别放到两个盒子里，有
2
11
C< br>3
+
C
3
种放法。三个红球放到一个盒子里有
C
3< br>种放法，放到两个盒子里必然分成1、2两
2
组，有
A
3
种放 法，放到三个盒子里只有一种方法。
2
由分步计数原理可得
C
4
C
3
（
C
3
+
C
3
）（1+
A3
+
C
3
）=720种
1
3
1111
3
1
3
11
2
1
思路三
（1）、先从4个盒子中选三个放置小球有
C
4
种方法。
（2）、 注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，
可以在4个相同的白 球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中
分别插入两个板。各有
C
3
、
C
4
、
C
5
种方法.
（3 ）、由分步计数原理可得
C
4
C
3
C
4
C
5
=720种.
3.在世界杯足球赛前，M国教练为了考察
A
1
, A
2
,,A
7
这七名队员，准备让他们在三场训练
赛中（每场90 分钟）都上上，假设在比赛的任何时刻，这些队员有且只有一个在场上，且
32
22
2
22
3
A
1
,A
2
,A
3
,A< br>4
每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被7整除，
A
5
,A
6
,A
7
每人上场的总时
间（以分钟为单位）均能被13整除.如果每场换 人次数不限，那么按每名队员上场的总时间
计算，共有多少种不同的情况?

解析：设第
i(i1,2,,7)
名队员上场的时间为
x
i
，问题即求不定方程
x
1
x
2
x
3
x
7
270 
在条件
x
i
能被7整除
(1i4)
，
x
i
能被13整除
(5i7)
下的正整数解的组数.
若
(x
1
,x
2
,,x
7
)
是满足条件的一组正整数解，则应 有
x
i
7m
，
x
i
13n
，n,mN

,
i1i5
47
于是
n,m
是不定方程
7m13n270(m4,n3)
的一组正整数解.
由不定方程 的理论可求得方程
7m13n270
满足条件的三组正整数解为

m3 3

m20

m7
或

或

.

n3n10n17

（1）当
m33,n3时 ，显然x
5
x
6
x
7
13,仅有一种可能
. 设
x
i
7y
i
(i1,2,3,4),于是
，
3
4960
,可知

式有4960组正整数由不定方程
y
1
y
2
y
3
y
4
33
正整数解的 组数为
C
32
解.
32
C
9
34884,即

式有（2）当
m20,n10
时，同样可求得原方程的正整数 解的组数为
C
19
34884组正整数解.
32
C
16
2400
. （3）当
m7,n17< br>时，

式正整数解的组数为
C
6
综上，原方程的正整数解的组 数为4960+34884+2400=42244.
总结：从上述三个思路上我们不难看出，第三个思路隔板法解决得干净利索.
一般来说某些问 题（如指标分配问题、信号灯问题等）因元素相同，如果在这些相同元素中
找“空档”（不含两端），在 “空档”中插入隔板，把这些元素分成若干“堆”，把“堆”看
作排列组合中的元素，这样问题就用隔板 法来解决了.


4.有5 个一样的球,分给3个人,每人至少分1 个,则有几种不同的分法呢?

2
6
答案：
C
4

5.有15 个一样的球,分给3 个人,每人至少分2 个,则有几种不同的分法呢?
2
55
答案：
C
11
6.有 5 个不一样的球,分给 3 个人,每人至少分 1 个,则有几种不同的分法呢?

1
答案：
C
3
22
C
5
C
3
108

2
A
2
7.将20 个相同的小球放入编号为1,2,3,4 的四个盒子里,要求每个盒子所分的小球数不少
于盒子的编号,则有几种不同的分法?

3
286
答案：
C
13
8.已知方程
xy zw100
，则这个方程的正整数解的组数为（ ）
4334
B. C
99
C. C
103
D.C
96

A. C
100

答案：B

9.从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
2
4095
答案：
C
29

10.某运输公司 有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司抽调10辆车，并且
每个车队至少抽调1辆，那 么共有 种不同的抽调方法.

6
84
答案：
C
9