排列组合应用教学设计教案
劲草娇花-商品房买卖合同范本
●课题
排列组合应用(二)
●教学目标
(一)教学知识点
排列、组合、排列数、组合数、捆绑法、插空法.
(二)能力训练要求
1.能够判断所研究问题是否是排列或组合问题.
2.进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能.
3.熟练应用排列组合问题常见的解题方法.
4.进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力.
(三)德育渗透目标
1.用联系的观点看问题.
2.认识事物在一定条件下的相互转化.
3.解决问题能抓住问题的本质.
●教学重点
排列数、组合数公式的应用.
●教学难点
解题思路的分析.
●教学方法
启发式、引导式
启
发学生认清题目的本质,排除非数学因素的干扰,抓住问题的主要矛盾,引导学生注
重不同题目之间解题
方法的联系,化解矛盾,并要求学生注重解题方法的归纳与总结,真正
提高分析、解决问题的能力.
●教具准备
投影片.
第一张:排列数、组合数公式(记作10.3.4 A)
第二张:本节例题(记作10.3.4 B)
第三张:补充练习题(记作10.3.4 C)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
[师]上一节我们一起研究学习了排列组合的实际应用题
,逐步熟悉了排列数与组合数
公式,并总结了相邻问题与不相邻问题的常用方法.下面,我们作一简要回
顾.
[生甲]排列数公式:
A
n
=
m
n!
.
(nm)!
组合数公式:
C
n
=
m
n!
.
!(nm)!
[生乙]相邻问题常用捆绑法;不相邻问题常用插空法.
[师]这一
节,我们通过例题进一步研究排列组合知识在实际中的应用,并关注转化思
想在解题中的应用.
Ⅱ.讲授新课
[例1]平面上有11个相异的点,过其中任意两点相异的直线有48条.
(1)这11个点中,含3个或3个以上的点的直线有几条?
(2)这11个点构成几个三角形?
分析:若平面上11点中任意两点有一条不同直线,则共
有C
11
=
2
2
1110
=55条.故直线
2<
br>总条数减少了55-48=7条.而每增加一组3点共线直线总条数减少C
3
-1=2条
,每增加一组4
点共线,直线总条数减少C
4
-1=5条……,故此题第(1)问是考
虑7被2与5分解的不同
方式,第(2)问则可以采用分类的思想求解.
解:(1)若任三点
不共线,则所有直线的总条数为C
11
=
每增加一组三点共线,连成直线就将减少C<
br>3
=2条;
每增加一组四点共线,连成直线就将减少C
4
-1=5条;
每增加一组五点共线,连成直线就将减少C
5
-1=9条.
∴55-48=7=2+5.
故含有3个点、4个点的直线各1条.
(2)若任意
三点不共线,则11个点可构成三角形个数为C
11
=
每增加一组三点共线三角形个数
减少1个,
每增加一组四点共线三角形个数减少C
4
个,
故所求不同三角形个数为C
11
-(1+C
4
)=160个. 评述:第(2)问采用逆向思考方法,即考虑总体除去减少的三角形,思路清晰,若直
接求解,则情
形较多,要求学生注意“正难则反”的解题思想应用.
[例2]如图,直线l
1<
br>与l
2
相交于点P,除点P外,在直线l
1
上还有A
1
,A
2
,A
3
,A
4
四点,
在直线l
2
上还有B
1
,B
2
,B
3
,B
4
,B
5
五点.
若在A
1
,A
2
,A
3<
br>,A
4
这四点中任取一点与B
1
,B
2
,B
3
,B
4
,B
5
这五点中各取一点连成
一条直线,问交点的
个数最多有几个?
A
1
P
A
2
A
3
A<
br>4
l
1
3
3
3
2
2
2
2<
br>1110
=55条;
2
2
3
11109
=165(个).
321B
2
B
3
B
4
B
5
1
Bl
2
[师]大家在审读题目内容后可以畅谈自己的看法.
[生甲]连结A
1
B
2
,则A
2
B
1
,A
3
B
1
,A
4
B
1
分别与A
1<
br>B
2
各有一交点,共有3个交点,再考虑
各点与B
2
连结后交
点的增加情况……
[生乙]我也按照甲同学的思路考虑,但情形较为复杂,不易确定所求.
[生丙]为了避免遗漏和重复,根据四边形对角形交点唯一,可以考虑构成不同四边形
个数的多少.可分
两步完成:第一步,从l
1
上A
1
~A
4
四点中任取两点,
有C
4
种不同取法;第
2
二步:从l
2
上B
1
~B
5
五点中任取两点,共有C
5
种不同取法.
根据分步计数原理共有C
4
·C
5
种不同取法,而每种取法对应不同的四边
形,四边形
的对角线有唯一交点,故所求最多交点个数为C
4
·C
5
个.
[师]接下来,我们根据丙同学的思路共同写出解答过程.
解:若各点连线交点不重合,则交点最多.共分两步:
第一步:从l
1
上A
1
~A
4
四点中取两点,有C
4
种不同取法;
第
二步:从l
2
上B
1
~B
5
五点中任取两点,有C
5
种不同取法.
根据分步计数原理共有C
4
·C
5
=60(种)不同取法.
而每种取法对应不同的四边形,四边形对角线有唯一交点,
故所求最多交点个数为60个.
评述:此题关键是将求交点个数问题转化为四边形对角线交点问题,使解题思路豁然开
朗,要求
学生加以体会.
[师]下面我们再做一道相关性练习.
已知空间有8个点,其中任意三点不
共线,任意四点不共面,若两条异面直线称为“一
对”异面直线,问共有多少对不同的异面直线?
[师]此题可考虑构造含有异面直线的几何体,联系例2的解法求解.
[生丁]因为在立体几
何学习中,我们知道,在三棱锥中有三对异面直线,故可以考虑
构成不同三棱锥的个数,而空间8个点中
任取4个不共面,可构成一个三棱锥,共可构成不
同三棱锥C
8
个,所以共有不同的异
面直线3×C
8
=210(对).
Ⅲ.课堂练习
(给出投影片10.3.4 C)
1.平面内有n个点,如果有m个点共线,其余各点没任何
三点共线,这n个点可连成多
少条直线?连成多少个三角形?
分析:此题可以从m个点共线而减少
的直线和三角形入手,采用间接求法.
解:若无任何三点共线,n个点可以连成直线C
n
条;
而m点共线则减少C
m
-1条直线,
所以n个点可连成C
n
-(C
m
-1)=
2
2
2
2
44
22
2
2
2
2
2
2
2
n(n1)m(
m1)
-+1条直线.
22
若无任何三点共线,n个点可以连成三
角形C
n
个,而m点共线,三角形个数减少C
m
个,
故这n个点可以
连成三角形C
n
-C
m
(个).
2.由6名运动员中选4人参加
400米混合泳接力,其中甲不游仰泳,乙不游蝶泳,共有
多少种选派方法?
分析:从仰泳与蝶泳两种方式中选取一种作为分类的出发点,然后分步进行.
(1)蝶泳选派甲时,其余3人任意排列,有A
5
种不同选法;
(2)蝶泳
选派甲、乙以外的4人有4种选法,接着定仰泳有4种方法,再定另外2名
有A
4
种方
法,由分步计数原理有4×4×A
4
种方法.
再由分类计数原理,共有A
5
+4×4×A
4
=252(种).
Ⅳ.课时小结
[师]通过本节学习,要求大家进一步熟悉排列组合在实际中的应用,掌握常见
的分析、
解决问题的方法,并体会基本原理及转化思想在解题中的应用,逐步增强分析问题、解决问题的能力.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P
100
习题10.3
11、12、13.
(二)1.预习课本P
104
~P
106
.
2.预习提纲
(1)二项式定理的内容.
(2)二项式有哪些相关概念?
(3)二项式系数与系数有何区别?
●板书设计
10.3.4
排列组合应用(二)
Ⅰ.方法归纳 例1
学生练习
1.相邻问题 例2
捆绑法
解答过程
2.不相邻问题 评述要点
插空法
3.转化思想的应用
3
3
3
3
3
3
22
2