高二数学解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略

绝世美人儿
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2021年01月10日 15:14
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2021年1月10日发(作者:梁汉文)


高二数学解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
江苏省阜宁中学 刘 佐
与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技
巧性强且灵 活多变,故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的
能力,有利于开发学生的智 力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题
1、 根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色 给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一种
颜色,相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法 有多少种?









分析:先给①号区域涂色有5种方法,再给②号涂色有4种方法,接着给③号涂色 方
法有3种,由于④号与①、②不相邻,因此④号有4种涂法,根据分步计数原理,不同的
涂色 方法有
5434240

2、 根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种 出各种情形的种数,再用加法原理
求出不同的涂色方法种数。
例2、(2003江苏卷)四种 不同的颜色涂在如图所示的6个区域,且相邻两个区域不
能同色。
分析:依题意只能选用4种颜色,要分四类:
4
(1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有
A
4








(2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有
A

(3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有
A

4
4
4
4
44
(4)③与⑤同色、② 与④同色,则有A
4
;(5)②与④同色、③与⑥同色,则有
A
4

4
所以根据加法原理得涂色方法总数为5
A
4
=120
例 3、(2003年全国高考题)如图所示,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要
求相邻区域不 得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种?
分析:依题意至少要用3种颜色
1) 当先用三种颜色时,区域2与4必须同色,
2
2) 区域3与5必须同色,故有
A
4
种;
3
3
1
4
5


3) 当用四种颜色时,若区域2与4同色,
4
4) 则区域3与5不同色,有
A
4
种;若区域3与5同色,则区 域2与4不同色,
44

A
4
种,故用四种颜色时共有2
A
4
种。由加法原理可知满足题意的着色方
34
法共有
A
4< br>+2
A
4
=24+2

24=72
3、 根据某两 个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入
手,分别计算出两种情形的种数, 再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内 ,每个区域涂一
种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同
的涂色方法?
分析:可把问题分为三类:
2 1
4
(1) 四格涂不同的颜色,方法种数为
A
5

(2) 有且仅两个区域相同的颜色,即只
有一组对角小方格涂相同的颜色,涂法种数为
12
2C
5
A
4

2
5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为
A
5

2122
因 此,所求的涂法种数为
A
5
2C
5
A
4
A5
260

3
4
4、 根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图, 6个扇形区域A、B、C、D、E、F,现给这6个区域着色,要求同一区
域涂同 一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有4种不同的颜色可
A
1
解(1) 当相间区域A、C、E着同一种颜色时,
有4种着色方法,此时,B、D、F各有3种着色方法,
此时,B、D、F各有3种着色方法故有
4333108

种方法。
C
D
E
F

B
A
22
(2)当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时,有
C
3
A
4
种着色方法,此时B、
D、F有
322
种着色方法,故共有
C
3
A
4
322432
种着色方法。
(3)当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有
A
4
种着色方法,此时B、D、< br>F各有2种着色方法。此时共有
A
4
222192
种方法。
3
3
22


故总计有108+432+192=732种方法。
说明:关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如:如图, 把一个圆分成
n(n2)
个扇形,每个扇形用红、白、蓝、黑四
色之一染色,要求相 邻扇形不同色,有多少种染色方法?
解:设分成n个扇形时染色方法为
a
n

2
(1) 当n =2时
A
1

A
2

A
4
=12 种,即
a
2
=12
A
1
A
2
A
n
A
3
A
3
A
4

(2) 当分成n个扇形,如图,
A

A
n1

A
2

A
3
不同色,
1

A< br>2
不同色,

A
n
不同色,共有
43
n 1
种染色方法, 但由于
A
n

A
所以应排除
A< br>n

A
1
邻,
1
n2
个扇形加在一起为同 色的情形;
A
n

A
1
同色时,可把
A
n

A
1
看成一个扇形,与前
n1
个扇形,此时有
a
n1
种染色法,故有如下递推关系:
a
n
43
n1
a
n1

a< br>n
a
n1
43
n1
(a
n2< br>43
n2
)43
n1


a< br>n2
43
n2
43
n1
a
n3
43
n3
43
n2
43
n1
 4[3
n1
3
n2

nn
(1)
n
3]
(1)33

二、点的涂色问题
方法有:(1)可 根据共用了多少种颜色分类讨论,(2)根据相对顶点是否同色分类讨
论,(3)将空间问题平面化,转 化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥
SABCD
的每个顶点染上一种颜色,并 使同一条棱的两端点异
色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是多少?
解法一:满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1) 若恰用三种颜色,可先从五种颜色 中任选一种染顶点S,再从余下的
四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点,此时只能A与C、B与D 分
别同色,故有
C
5
A
4
60
种方法。
(2) 若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,
再从余下的四种颜 色中任选两种染A与B,由于A、B颜色可以交换,
12


2
故有
A
4
种染法;再从余下的两种颜色中任选一种染D或C,而D与C,
而D与C中另一 个只需染与其相对顶点同色即可,故有
1211
C
5
A
4
C
2
C
2
240
种方法。
5
(3) 若恰用五种颜色染色,有
A
5
120
种染色法
综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二: 设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行,对S、A、B染色,有
54360
种染色方 法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色,这影响到D点颜色的选取方法数,
故分类讨论:
C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一),D应与A(C)、S不同色,有3种
选择;C与A不同 色时,C有2种选择的颜色,D也有2种颜色可供选择,从而对C、D染
色有
1322 7
种染色方法。
由乘法原理,总的染色方法是
607420

解法三:可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图,
对这五个区域用5种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法?
D
A
解答略。
S
三、线段涂色问题
C
B
对线段涂色问题,要注意对各条线段依次涂色,主要方法有:
1) 根据共用了多少颜色分类讨论
2) 根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边,每条边只涂一种颜色 ,
且使相邻两边涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方
法?
4
解法一:(1)使用四颜色共有
A
4

112
(2)使用三种颜色涂色,则必须将一组对边染成同色,故有
C
4

C
2
A
3
种,
2
(3)使用二种颜色时,则两组对边必须分别同色,有
A
4

因此 ,所求的染色方法数为
A
4
C
4
C
2
A
3
A
4
84

解法二:涂色按AB-BC-CD-DA的顺序 进行,对AB、BC涂色有
4312
种涂
色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色,这影响到DA颜色的选取方法数,故分
类讨论:
当CD与AB同色时,这时CD对颜色的选取方法唯一,则DA有3种颜色
41122


可供选择CD与AB不同色时,CD有两种可供选择的颜色,DA也有两种可供选择的颜色,从而对CD、DA涂色有
13227
种涂色方法。
由乘法原理,总的涂色方法数为
12784

例8、用六种颜 色给正四面体
ABCD
的每条棱染色,要求每条棱只染一种颜色
且共顶点的棱涂不同 的颜色,问有多少种不同的涂色方法?
解:(1)若恰用三种颜色涂色,则每组对棱必须涂同一颜色,而这三组间的颜色不
同,
3
故有
A
6
种方法。
(2)若恰用四种颜色涂色,则三组 对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色,但组
34
与组之间不同色,故有
C
6< br>A
6
种方法。
15
(3)若恰用五种颜色涂色,则 三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色,故有
C
3
A
6
种方法。
6
(4)若恰用六种颜色涂色,则有
A
6
种不同的方法。
324156
综上,满足题意的总的染色方法数为
A
6
 C
3
A
6
C
3
A
6
A
64080
种。
四、面涂色问题
例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜 色,将一个正方体的6个面涂色,每两
个具有公共棱的面涂成不同的颜色,则不同的涂色方案共有多少种 ?
分析:显然,至少需要3三种颜色,由于有多种不同情况,仍应考虑利用加法原理
分类、乘 法原理分步进行讨论
解:根据共用多少种不同的颜色分类讨论
(1)用了六种颜色,确定某 种颜色所涂面为下底面,则上底颜色可有5种选择,在
上、下底已涂好后,再确定其余4种颜色中的某一 种所涂面为左侧面,则其余3个面
有3!种涂色方案,根据乘法原理
n
1
5 3!30

5
(2)共用五种颜色,选定五种颜色有
C
6

6
种方法,必有两面同色(必为相对面)
确定为上、下底面,其颜色可有5种选 择,再确定一种颜色为左侧面,此时的方法数
取决于右侧面的颜色,有3种选择(前后面可通过翻转交换 )
5
n
2
C
6
5390

(3)共用四种颜色,仿上分析可得
42
n
3
C
6
C
4
90
< /p>


3
(4)共用三种颜色,
n
4
C
6
20

例10、四棱锥
PABCD
,用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个 面上,要求相邻不
同色,有多少种涂法?

P


1
2

5



3
D

4
C


A
B

解:这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题,如右图,区 域1、2、3、4相当于四个
侧面,区域5相当于底面;根据共用颜色多少分类:
3
(1) 最少要用3种颜色,即1与3同色、2与4同色,此时有
A
4
种;
14
(2) 当用4种颜色时,1与3同色、2与4两组中只能有一组同色,此时有
C
2

A
4

314
故满足题意总的涂色方法总方法交总数为
A
4
C
2
A
4
72

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