排列组合中的几何问题和图形问题
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2021年01月10日 15:15
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排列组合中的几何问题和图形问题
作者：朱海东
来源：《中学生理科应试》2015年第12期
一、几何问题
在几何图形中涉及到排列组合的问题主要有三
大类：有关空间四面体；平面三角形；两直线的交点.
解决这些问题，主要的思路是：充分利用几何图形的特点，排除不符合题意的情况，对所
求问题进行分
类.
问题1
（1）求以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体的个数？
（2）求以正方体的顶点为顶点的四面体有多少个？
（3）四面体的顶点和各棱的中点共10点.求以这些点为顶点的四面体有多少个？
分析 这一组题目都要求确定四面体的个数，一般都可以采用排除法，把四点共面的情况
排除.在排除时
要充分考虑图形的特点，不能遗漏.在问题（1）中，四点共面的情况比较清楚，
只有三个侧面，所以共
有四面体：C46-3=12个.在问题（2）中，正方体中的四点共面可分为两
类：一类是侧面；另一
类是对角面.侧面有6个，对角面也有6个，所以共有四面体；C48-6-
6=58个.在问题（3）
中，四点共面的情况很容易遗漏，最容易发现的是在四侧面上的四点共
面，有4C46种；其次是由各边
中点所组成的四点共面，有3种；最隐蔽的是一条棱上的三点
和它对棱中点所确定的四点共面，有6种.
共有：C410-4C46-3-6=141个四面体.