一问一世界-猜灯谜大全及答案

排列组合问题的解题策略选讲

普通高中实验教科书 数学 选修2-3

介绍、讲解高中排列组合问题常见的四种解题策略，使学
生提高这类问 题的分析能力和解决能力。

1．教学目标
(1)知识与技能目标：掌握有关排列组合问题的解题策略，提高分析、解决问题的能力。
( 2)过程与方法目标：通过排列组合问题的解题策略的思路形成过程，让学生领悟四种
解题策略的思想方 法。
(3)情感、态度与价值观目标：通过设问解疑，让学生感受思考的乐趣与成功的喜悦，
体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。
2．教学重点、难点
教
(1)重点：排列组合问题解题策略的应用。
(2)难点：排列组合问题解题策略的思路形成。
3．教学方法和手段
(1)教学方法：采用启发式讲授法的教学方法。
学
在教学中，我们不仅要使学生获 得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导
下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想 ，使学生在学习中培养坚强的意志品质、
形成良好的道德情感。
(2)教学手段：利用多媒体平台。
通过多媒体平台弥补传统教学的不足，增强教学效果的直 观性，帮助学生更好地理解排
内
列组合问题解题策略的思路形成。课件精心制作、做好细节、突 出重点。
4．教学过程
(1)复习回顾
在前面的几节课，我们已经对选修2-3的第一章《计数原理》进行系统地复习。
容
说明：打出第1张幻灯片。

图：第1张幻灯片片段

说明 ：由于这些内容前面已经系统地复习了，所以简单扼要地叙述上面幻灯片的内容，
主要是帮助学生回忆前 几节课的内容。
虽然复习巩固了，但同学们反映还是有很多题目不会做或做错。为什么呢？
计数问题中，排列组合问题是最常见的。其特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解
法独特。有的题目 的解法往往是构造性的，方法灵活、多样，不同解法导致问题难易变化也
较大。而且解题过程出现“重复 ”和“遗漏”的错误较难自检发现。所以面对这一类问题，
同学们往往就会束手无策了。
教
(2)创设问题
在这一类问题中，我们以如下几个问题作为典例进行研究。
说明：打出第2张幻灯片。
学
内

图：第2张幻灯片片段

说明：问题逐个打出，读题。让学生对问题有个印象，提醒学生不要忙于解答，后面我
容
们将会一一解答。
上面所列的这几个问题，在高中阶段属于比较常见的类型。因而对这些问题 归纳总结，
并掌握一些在高中比较常用的解题策略是必要的。
(3)思考探究
在讲 解解题策略之前，我还得请同学们和我一起来弄清楚下面两个思考题，这将使得我
们能更好的理解排列组 合问题，正所谓知己知彼，方能百战百胜。
思考1：排列和组合的区别是什么？
很多学生都会按照课本的概念，认为涉及顺序的是排列问题，没有顺序的是组合问题，

实际上这使得我们的思维出现很大程度的模糊。因为究竟什么才是有顺序，怎么理解有顺序
呢？ 既然这样我们又该如何理解排列和组合的区别呢？
我们先看几个例子。
说明：打出第3张幻灯片。
教

图：第3张幻灯片片段
说明：上面四个例子打出顺序为①和②、③、④。
学
在①和②这两个例子从字面上看出有顺序吗？
在①中，学生认为“第一组”和“第二组”是不同的，所以有顺序。
2
C
4
2
因此均等分组后应该再排列，即方法数是
2
gA
2
。
A
2
2
C
4
那么②的方法数就应该是
2
。
A
2
内
虽然没有明显的顺序关系，但是学生可以从“位置是否可区分”来判断 问题到底是有没
有顺序的。
当学生看到③时，会很快给出
A
3
3< br>这个答案，因为③中出现了“3个不同位置”的字眼。
容
按照这样的理解那么④的答案也就是
A
3
3
了？
虽然我们 还不至于犯这样的错误，但是我们的判断依据是什么呢？我们的判断依据是
“元素是否可区分”。 于是，我们可以得到一个结论：问题中所涉及的元素和位置都具有可区分性的，属于
排列问题，否则 是组合问题。
说明：结论在第3张幻灯片的底部打出。
这样一来，排列组合的区别就更加明了，我们解题的思维方式也就更加清晰了。

思考2：符号
A
n
k
的含义是什么？
符号
A
n
k
是指排列数，实际上这个符号限制着我们的思维方式。它的含义是指在
n
个元
素中取出
k
个元素进行排列。
说明：打出第4张幻灯片。
教
学
图：第4张幻灯片片段

3
在这个例子中，我们可以先从6人中取出3人，有
C
6
种情况，再将3人 分配到3个职
333
gA
3
A
6
位，有
A
3
3
种情况，所以不同的选法为
C
6
种。
内
也 就是说
A
n
k
其中包含了两层意思，一层是在
n
个元素中取 出
k
个元素，另一层是再将
这取出的
k
个元素进行全排列，即
A
n
k
C
n
k
gA
k
k
。
实际上
A
n
k
是将两个思维过程串在一起，这使得我们做较为难一点 的题的时候，经常会
思维混乱。
容
于是，我们可以得到一个结论：所有的排列问题 都遵循“先取后排”的原则，用
C
n
k
gA
k
k
代 替
A
n
k
更有利于解决较难的问题。
说明：结论在第4张幻灯片的底部打出。
这个结论有利于解放思维，有利于我们对问题的思考。
(4)展开课题
理解这两个 思考题之后，我们就带着前面的四个问题，来对排列组合问题的一些常见解
题策略进行学习。

策略1．插空策略
插空策略可以解决元素不相邻的问题。
说明：打出第5张幻灯片，先打出插空策略的说明。
教
学
图：第5张幻灯片片段

这类问题可把没有位置要求的元素进行排队，再把要求不相邻的元素插入中间和两端。
说明： 打出第5张幻灯片的插空策略的模型进行解释。有两个元素要求不相邻，那么把
其余四个元素先排好，再 把这两个元素插入其余四个元素的中间和两端。幻灯片中动画演示
内
不相邻的两个元素的插空过 程。
接下来，我们来看一道例题。
说明：打出第6张幻灯片，先打出例题。
容

图：第6张幻灯片片段
要使得甲乙不相邻，我们只要先排好其余5个人，然后在这 5个人的间隙以及两端的6
个位置选两个插入甲乙，这样甲乙自然就不相邻了。

说明：引导学生根据模型对例题进行分析，进而加以肯定，打出例题的解答过程。并提
出问题，在第2 步中为什么是
A
6
2
而不是
C
6
2
呢？因 为解决这个问题能使得更多的学生明白何
为排列何为组合，那么课前的两个思考探究的作用就更加明显了 。
在第2步中，其中的
A
6
2
可以解释为6个位置选两个为
C
6
2
，因为甲乙是可区分的，所以
22
A
6
应该再乘上
A
2
2
，即
C
6
2
gA
2
。
解答完例题后，对插空策略进行总结：几个元素不能相邻时，先排一般元素，再让特< br>教
殊元素按照要求进行插空。
说明：总结在第6张幻灯片的底部打出。
前面 我们提到的问题中，有一个就是“元素不相邻”的，下面把这个问题当成一道练习
题，请同学们来完成。
说明：打出第7张幻灯片，先打出练习题。
学
内

图：第7张幻灯片片段
容
引导学生将此问题等价为在七盏亮着的路灯的6个间隙中插入三盏关闭的路灯。
说明：提问后 再进行分析。打出分析过程。幻灯片动画演示这个插入的过程。可能有学
3
生会认为答案是A
6
3
，根据前面的思考探究，由于关闭的路灯是不可区分的，所以应该是
C
6
。
在这个练习中，我们要注意考察问题中的条件，运用插空策略。先排一般元 素，再让特
殊元素按照要求进行插空，同学们在平时的练习中要多加观摩揣意。
策略2．捆绑策略
捆绑策略可以解决元素相邻的排列问题。

说明：打出第8张幻灯片，先打出捆绑策略的说明。
教

图：第8张幻灯片片段
学
对于这类问题可采用“局部到整体”的排法，即先把相邻元 素局部先排列，然后当成一
个元素，再与其他元素整体排列。
说明：打出前面我们提到的问题 2,以及捆绑策略的模型进行解释。有一对双胞胎要求
相邻，那么把这一对双胞胎“捆绑”在一起（局部 排列），幻灯片中动画演示“捆绑”后放
内
25
gA
5
240了。 到其他元素中进行排列（整体排列）的过程。这样问题2的答案明显就是
A
2
下面，我们同样通过一道例题进行融会贯通。
说明：打出第9张幻灯片，先打出例题。
容

图：第9张幻灯片片段
甲乙丙要相邻，我们可以先把甲乙丙排在一起（捆绑），然后把甲乙丙的排列当成一个

元素再与其它的元素进行排列。
说明：引导学生进行分析，进而加以肯定，打出例题的解答过程。
解答完例题后，对捆绑策略 进行总结：几个元素必须相邻时，先按照要求把它们捆绑
成一个元素，再与其它的元素进行排列。
说明：总结在第9张幻灯片的底部打出。
策略3．剪串策略
剪串策略可以解决“将
n
个相同的元素分到
k
个不同的容器（
n
>
k
）,每个容器至少一
教
个元素”的这类问题。
说明：打出第10张幻灯片，先打出剪串策略的说明。
学
内

图：第10张幻灯片片段
容
将
n
个相同的元素分到
k< br>个不同的容器（
n
>
k
）,每个容器至少一个元素,可以将
n
个相
同的元素串成一串，在这一串的
n-1
个空隙中选
k-1
个位置，剪断后自然就分成了
k
份，元
1
素是不可区分的，属于组合问题 ，所以共有
C
n
k
1
种。
特别提醒学生要注意“元素必须是相同的”才能符合剪串策略。
说明：打出前面所提的问题3 ，用模型进行解释。把足球看成是“珠子”串在一起，幻
灯片中动画演示四把剪刀从19个间隙中的任意 选四个进行剪断的过程。那么通过模型的解
4
释，问题3的答案明显就是
C
1 9
了。

我们也同样通过一道例题再加以理解。
说明：打出第11张幻灯片，先打出例题。

教
图：第11张幻灯片片段
因为是方程的正整数解，所以也就是把200个“1”分给
x
1
,x
2
,x
3
,L,x
20
，至少分一个。
即把200个相同的 元素分到20个不同的容器，每个容器至少一个元素，符合剪串策略。
说明：引导、启发学生进行对问题进行分析、转化。打出例题的解答过程。
学
解答完 例题后，对剪串策略进行总结：将
n
个相同的元素分到
k
个不同的容器（n
>
k
）,
1
每个容器至少有一个元素的方法数为
C
n
k
1
种。
说明：总结在第11张幻灯片的底部打出。
4．等机会策略
等机会策略可以解决元素顺序固定的排列问题。
内
说明：打出第12张幻灯片，先打出等机会策略的说明。
容

图：第12张幻灯片片段

解决元素顺序固定的排列问题，先把所有元素一起排 列，因为每一个排列的机会相等，
所以在所有元素的全排列中，只有几分之几是满足元素顺序固定的排列 种数。
说明：打出前面所提到的问题4。九位领导的就座方法总数是
A
9
9
，其中包括了校长坐
在1、2、3和7、8、9位置的情况，用模型进行解释。由于每一个排列 的机会相等，那么校
11
9
长坐在中间三个位置的概率就是，通过模型的解释，问题变 得简单明了，答案
A
9
便是无
33
可厚非的了。
下面我们再来看一道相关的例题。
教
说明：打出第13张幻灯片的例题部分。
学

内
图：第13张幻灯片片段
先把7个人全部进行排列有
A
7
7
种，甲乙丙3人的排法有
A
3
3
种，甲乙 丙顺序一定只是其
中的一种，所以满足条件的排法只占所有排法的
1
。
3
A
3
容
说明：引导、启发学生进行分析，进而加以肯定，打出例题的解答过程。
解答完例题后，对等 机会策略进行总结：几个元素顺序一定时，先把所有元素进行排
列，再乘以顺序固定占总数中的几分之几 。
说明：总结在第13张幻灯片的底部打出。
(5)练习作业
以上的四种策略是 高中最为常见的，希望同学们能够熟悉掌握。下面我们再通过几个练
习题，来帮助同学们理解、加强这些 策略。
说明：打出第14张幻灯片，先打出练习2。

图：第14张幻灯片片段
教
说明：练习打出后，很快就有学生在嘀咕了。此时提问， 直到问到答案
3
4
为止。加以分
析，打出答案和变式1。
31< br>变式1和剪串策略的模式比较接近，可能有的学生会给出
C
4
提示学生注
1
这样的答案。
意“4封不同的信”和剪串策略中的“n个相同的元素”是不同的。 说明：很快有学生就想到了捆绑策略了。此时提问，得到正解。加以分析，打出答案和
学
3 1
变式2，至此答案为
C
41
就不言而喻了。
做完练习2之后 ，进行总结：解题时,一定要注意题目的条件，选取合适的解题策略来
解决问题，不要盲目地套用某种解 题策略。
说明：总结在第14张幻灯片的底部打出。
内
好，我们再看下面的练习。
说明：打出第15张幻灯片，先打出练习3、4、5。
容

图：第15张幻灯片片段
经过一节课的学习和总结，效果相当明显，全班同学们几乎都在很短 的时间内就判断出
这三个练习分别属于插空、捆绑和等机会策略了。
说明：提问得到正确答案，打出正解。布置作业，在第15张幻灯片底部打出。

(6)课题小结
本课题，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以讲解。具体有：
插空策略——不相邻问题；
捆绑策略——相邻问题；
剪串策略——相同元素至少一个的分发问题；
等机会策略——位置、顺序固定的问题。 解题时要根据题目的条件，选取适当的策略来解决问题。把复杂的问题简单化，懂得举
教
一 反三，触类旁通,观摩揣意,不要盲目地套用某种解题策略。
本课题到此结束，谢谢大家。
5．板书设计
排列组合问题的解题策略选讲
1.复习回顾

3.排列组合问题的解题策略
1）插空策略:不相邻问题
2）捆绑策略:相邻问题
3）剪串策略:相同元素的分发问题
4）等机会策略:顺序固定的问题

4.小结
5.作业
可擦除区域

学
2.思考探究
1）排列和组合的区别是什么？
k
2）符号
A
n
的含义是什么？
例题、练习的讲解思路，演算
或者答案可写在这个区域
内
6．教学反思 < br>一个策略的形成是螺旋式上升的，对策略的理解不仅是对结果的理解，更是对方法和过
程的理解。 本课题设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返
璞归真。从四个问题，两 个思考探究出发，设问解疑，引导学生进入本课题的中心。
容
教师作为学生学习的组织者、 引导者、合作者应因材施教，选择适当的教学方法。本课
题虽然采用比较传统的讲授法，但教学过程中采 用启发式的追问方式，引导学生进行思考，
给学生说话的机会，收集知识误区，及时更正，启发学生对问 题进行分析解答，然后从全体
学生中提取结论，实际教师也就是在对来源于学生的观点加以修正和总结。 体现了以学生的
发展为本的教学理念。教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举 一
反三、融会贯通。教学中重过程、多交流，因材施教、尊重差异，促进了个性化学习，更好
地 实现了教学目标。排列、组合问题大都来源于生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常
是依据具体做事 的过程，用数学的原理和语言加以表述。

《排列组合问题的解题策略选讲》教案说明
揭阳揭东县 地都中学 郑维宝
数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重 要学科，在教学中，我们
不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学 习、乐于学
习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。
本课题虽然采用比较传统的讲授法，但教学过程中采用启发式的追问方式，引导学生进
行思考， 给学生说话的机会，收集知识误区，及时更正，启发学生对问题进行分析解答，然
教
后从全体学 生中提取结论，实际教师也就是在对来源于学生的观点加以修正和总结。体现了
以学生的发展为本的教学 理念。教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，
才能举一反三、融会贯通。教学中重过 程、多交流，因材施教、尊重差异，促进了个性化学
习，更好地实现了教学目标。
学
为了更好地体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以
学定教”的教学理 念，在本课题的教学过程中，我将紧紧围绕“教师组织，启发引导，学生
思考，教师总结”启发式教学模 型进行教学。让学生在策略模型中，经历知识的形成和发展，
通过观察、思考、归纳、反思参与学习，认 识和理解排列组合问题的解题策略。
在教学中注意过程和关注全体学生，充分调动学生积极参与教学过 程的每个环节。利用
内
多媒体平台，通过多媒体平台弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观 性。
本课题设计了六个环节，环环相扣、层层深入。
各个环节的安排和关系如下图所示。
容

下表对教学过程再进行补充和说明。
环
节
复
简单扼要地叙述与排列组合有关的内容。
习
这些内容前几节课，已经系统复习了，故引导学生回忆知识，课前热身，引入课题。
回
不要太详细。
顾
活 动 内 容 设 计 意 图
教
创
问题1：有编号的十盏路灯,为了节能要关
掉彼此不相邻的三盏，且两端的路灯不能
关 闭，有多少种关闭路灯的方法？

问题2：6个人排队，其中一对双胞胎要
设
站在一起，有多少种排队的方法？
重现学生经常做错的类型题目，激发学生
的求知欲望。
问题3：将20个足球分给5个班级，每班
问
级至少分到一个足球的分法有多少种？

问题4：毕业合影，前排九个位置由九位
题
领导就座，正校长只能坐在中间三个位置
的坐法有多少种？


学
内
思考1：排列和组合的区别是什么？
探究模式：举例—分析—得出结论
思
结论：问题中所涉及的元素和位置都具有

可区分性的，属于排列问题， 否则是组合
思考1：很多学生都会按照课本的概念，
认为涉及顺序的是排列问题，没有顺序的< br>是组合问题，那么究竟什么才是有顺序，
怎么理解有顺序呢？
思考2：
An
k
是将两个思维过程串在一起，
一是在
n
个元素中取出
k
个元素，一是将
这取出的
k
个元素进行全排列，即
探究模式：举 例—分析—得出结论

结论：所有的排列问题都遵循“先取后排”
究
的原 则，用
C
n
k
gA
k
k
代替
A
n
k
更有利于解决较
难的问题。
思想，使学生能更容易地理解解题策略。
容
考
问题。

探
思考2：符号
A
n
k
的含义是什么？
kk
An
C
n
gA
k
k
，这使得我们做较为难一点的
题的时候，经常会思维混乱。
两个思考探究作为下面课题中心的指导

（续上表）
排列组合问题的解题策略：
展 1．插空策略—模型—例题—结论
介绍高中解决排列组合问题常用的四种
2．捆绑策略—模型—例题—结论
策略。弄清他们分别解决什么问题？如何
开 3．剪串策略—模型—例题—结论
解决？每个策略一个例题，现学现用。设
4．等机会策略—模型—例题—结论
计课件，动画模型，可以更形象的理解各
课 模式：策略可解决什么问题→启发学生
个策略模型，突破“排列组合问题解题策
教
怎么解决→为什么可以这样解决（动画
略的思路形成”这一难点。
题 模型进行解释）→如何应用（例题）→
启发学生如何求解→策略结论。
练习1：插空策略的应用。此练习放在
练 插空策略的例题之后。 通过几个练习题，帮助学生理解、加强高
学
练习2、变式1、变式2：乘法原理、捆中解决排列组合问题常用的四种策略。
解题时要根据题目的条 件，选取适当的策
略来解决问题。把复杂的问题简单化，懂
得举一反三，触类旁通,观摩揣意, 不要盲
目地套用某种解题策略。
习 绑策略、剪串策略的应用。
练习3：插空策略的应用。
作 练习4：捆绑策略的应用。
内
练习5：等机会策略的应用。
业 课外练习布置：课辅资料《金榜1号》布置课外作业，加深巩固。
活页本12-4。
课
插空策略——不相邻问题

捆绑策略——相邻问题
题
转化策略——抽象、复杂的问题

剪串策略——相同元素至少一个的分发力，巩固所学知识。
小
问题

等机会策略——位置、顺序固定的问题
结
容
培养学生对所学知识进行概括归纳的能