数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题
玛丽莲梦兔
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2021年01月10日 15:19
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数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题
作者：蔡丽菊
来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期
在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的
能
力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。其中，“小球与盒子”的模型
问题一直是一个热门话题。由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综
合性
、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉
千变万化，无从
下手。下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感
悟。
类型一：不同小球入不同盒子的模型
1.球少盒多型
例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？
解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。
变式1：
若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的
放法？
解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放
4个不同的小球
，所以这是个排列问题。有
种不同的方法。
变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的
放法？
解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。
注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理
2.球多盒少且每盒至少放一球型
例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放
法？