公司法定代表人-性动作描写片段

排列组合的常见题型及其解法
排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合 问题，关键要搞清楚是否与
元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此 掌握一些基
本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
一. 特殊元素（位置）用优先法
把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采 取特殊元
素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方
法。 解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的
15
任一位置上，有
A
4
种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有
A
5
种站法，
15
故站法共有：
A
4
＝480（种 ）
A
5
解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个 人中任选两
24
人站在左右两端，有
A
5
种；第二步再让剩余的4个 人（含甲）站在中间4个位置，有
A
4
24
种，故站法共有：
A5
A
4
480
（种）
二. 相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一
个整体，视为一个元 素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
6
解：把3个女 生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有
A
6
种，然后女生内部再
进行排 列，有
A
3
种，所以排法共有：
A
6
A
3
4320
（种）。
三. 相离问题用插空法
元素相离（即不相邻）问题，可以 先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已
排好的元素位置之间和两端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
解：先将其余4人排成一排，有
A< br>4
种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、
丙插入，有
A
5< br>种，所以排法共有：
A
4
A
5
1440
（种）
四. 定序问题用除法
对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行

343
4
363

nm
全排列有
A
n
种，
m(mn)
个元素的全排列有
A
m
种，由于要求m个元素次序 一定，因此
只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中n
A
n
m个元素次序一定，则有
m
种排列方法。
A
m
例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数 字小于十位
数字的六位数有多少个？
15
解：不考虑限制条件，组成的六位数有A
5
种，其中个位与十位上的数字一定，所
A
5
以所求的六位 数有：
15
A
5
A
5
300
（个）
2
A
2
五. 分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的
方法求解。
例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多
少种？
解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，
9
不同的坐标共有
A
9
种。
六. 复杂问题用排除法
对于某些比 较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，
先求出无限制条件的方法种数， 然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做
到不重不漏。
例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法
共有（ ）
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
解：从1 0个点中任取4个点有
C
10
种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取
出的4个点位于四面体的同一个面内，有
4C
6
种；第二类，取任一条棱上的3个点 及该棱
对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分
别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减
掉，所以不同的 取法共有：
C
10
4C
6
63141
（种）。
七. 多元问题用分类法
按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后

44
4
4

计算总数。
例7. 已知直线
a xbyc0
中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，
3}中的3个 不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。
a
0
，即a，b异号。
b
（1）若c＝0，a，b各有3种取法 ，排除2个重复（
3x3y0
，
2x2y0
，
xy0< br>），故有：3×3－2＝7（条）。
（2）若
c0
，a有3种取法，b有3 种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意
解：设倾斜角为

，由

为锐角，得
tan


两条直线均不相同，故这样的直线有：3×3×4 ＝36（条）。
从而符合要求的直线共有：7＋36＝43（条）
八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。
例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案
共有多少种？
解 ：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，
211< br>C
4
C
2
C
1
3
1），共有：（种）， 第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方
6
A
3
2
A
2
211
C
4
C
2
C
1
3
法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：。因此共有36
A
3
36
（ 种）
2
A
2
种方案。
九. 隔板模型法
常用于解决整数分解型排列、组合的问题。
例9. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的
分配方案？
解 ：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔
板插入9个空，每一 种插法，对应一种分配方案，故方案有：
C
9
126
（种）

5