深海泰坦技能-金水桥

一、
知识要点预备：

二、
知识要点：

排列组合的基本方法——隔板法

排列组合中分配问题，是排列组合中的难点问题，其 中涉及到名
额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法，下面我们就来一起
研究一下这种方 法。

例1 10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，
共有多少种不同的分配方法？

解析：本小题涉及到了名额分配的问题，宜采用隔板法。用5
个隔板插入10个指标中的9个空隙，即 有
C
9
5
种方法。按照第一个隔
板前的指标数为1班的指标，第一个 隔板与第二个隔板之间的指标
数为2班的指标……依此类推，共有
C
9
5126
种分法。

例2 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名 额数
不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？

解析：先拿3个指标分配给二 班一个，三班两个，然后，问题
就转化为7个优秀名额分配个三个班级，每班至少一个。由例1可
知，共有
C
6
2
15
种不同的分配方法。

例3 研究不定方程
x
1
x
2
x
3
x
4
10
的正整数解有多少个？

解析：该问题可以这样处理： 将方程左边的
x
1
、x
2
、x
3
、x
4< br>看成是
4个班级得到的名额数，右边的10看成是10个名额。这样就相当于
10个优秀 名额分配到4个班级，每个班级至少有一个名额，共有多
少种不同的分配方法。这样，本题就转化为里例 1的形式，所以本
题的答案即为
C
9
3
84
。

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例4 研究不定方程
x
1
x
2
x
3
x
4
10
的非负整数解有多少 个？

解析：本题与上一题的不同点就在于本题求的是非负整数解的
个数，即
x
1
、x
2
、x
3
、x
4
有可能等于0， 所以本题就不能再直接的看成
是例1的名额分配的问题了。但我们可以通过转化将其转化为名额
分配的问题。方程
x
1
x
2
x
3
x
4
10
即为
（x
1
1）（x
2
1）(x
3
+1)(x
4
1)14
，通过这样的转化形式，
x
1
1
、
x
2
1
、
3
286
。

x
3
+1
、
x
4
1
就都是正整数了。所以本题的最后答案是
C
13
对应练习：

1． 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班
的学生组成，每班至少一人，名额分配方案 共 ___种 。

2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，< br>要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？
2
（
C
1 6
）

49
3．不定方程
x
1
x
2x
3
Lx
50
100
中不同的整数解有_______ 个。（
C
99
）

答案：

72
49
330
2．
C
16
120
3．
C
99
1．
C
11

例析隔板法的应用

基础题型：将n个相同元素分给m个不同对象（n≥m），每个对 象
至少有一个元素，由C
n-1
m-1
种方法。

解析：本题型可描述为n-1个空中插入m-1块板，共有 C
n-1
m-1
种
方法。此种解法称为隔板法。下面通过几个例题体会一下隔板法的应
用。

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例1．
从5个学校选出8名学生组成代表团，每校至少有一人的选
法种数是多少？

解析：按常规，从5个学校选8名学生，要考虑5个学校人员的
分配，需要分类讨论，太繁琐。逆向思考 ，假设8名学生的代表团已
组建好，现将其返回到5个学校，

每校至少一人，用“0”表示学生，如图， 0∣00∣00∣00∣0

问 题转化为将8个学生分成5组，每组至少一人，在上图中，7个空
档中插入4块隔板即可将其分成5组， 故有C
7
4
=35种选法。

例2．
20个不加区别的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒
子里，要求每 个盒内的球数不小于盒子的编号数，问
有多少种放法？

解析：先取出3个球，其中1 个球放入2号盒内，再将其余的2
个球放入3号盒内。则此题转化为17个球放入3个不同盒内，每盒< br>至少一球，有多少种放法？即16个空档中插入2个隔板即可将其分
成3组，故有C
16
2
=120种放法。

例3．
求方程x+y+z+m+n=50共有多少组正整数解？

解析：此题分类不易解决。 若用穷举法，未知数太多，不宜入手。
若寻找解多元方程的思想，更不可取。不妨转化一下观念：因为求 的
是正整数解，可看作50个小球放入5个盒子，每个盒子至少一球的
放法数，即49个空档中 插入4块隔板将其分成5组，所以原题有C
49
4
组正整数解。

例4．
求方程x+y+z+m+n=50共有多少组自然数解？

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解析：对于此题需要注意与例3的区别，例3求的是正整数解，而此题求的是自然数解，自然数包含着0。所以此题可转化为：50个
小球放入5个盒内，可空的放 法有多少？对于此题可以先额外的每盒
放入一个球，并不影响总的放法数，即本题又转化为55个球放入 5
个盒内，每盒至少有一球的放法数。故本题结果为C
54
4
组自然数解。< br>
练习：（a+b+c+d）
12
展开式合并同类项后，共有几项？

（提示：一般项为a
x
b
y
c
z
d
m,x+y+z+m=12(x,y,z,m∈N
+
)）

最后谈一点学习 体会：我们平时在解答每一个典型问题后，不要
立即如释重负地关闭思维的大门，而应该在回味中竭力捕 捉住一闪欲
逝的灵感进行透析探究，这样往往能够事半功倍的获得新知。


（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收
获，努力就一定可以获得应有的回报）


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