充栋汗牛-普通话测试说话范文

排列组合题集
一、解决排列、组合问题常用方法：两个原理、优限法、 排除法、捆绑法（视一法）、插空法、隔板法、
等可能法、固定模型、树图法等，但最基础的是“两个原 理”.
二、排列、组合问题大体分以下几个类型
类型一：排队问题
例1：7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：
（1）甲不站排头，乙不站排尾____ ________________（2）甲、乙两人不站两端______________________ __
（3）甲、乙两人相邻____________________________（4）甲、 乙两人不相邻________________________
（5）甲、乙之间隔着2人___ ___________________（6）甲在乙的左边______________________ ______
（7）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变________________
（8）若7人中有4男生，3女生，男、女生相间隔排列________
（9）7人站成前后两排，前排3人，后排4人的站法____________
（10）甲站中间______ _____（11）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法____________
（12）若7人身高各不相同，则按照从高到低的站法________________
（13）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法________
（ 14）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法____ _
类型二：分组与分配问题
例2：将6本不同的书，若按如下方式来分，则不同分法种数有：
（1）平均分成3堆，每堆 2本______________________（2）分给甲、乙、丙3人，每人2本_________ _______
（3）分成3堆，每堆本数分别是1，2，3，____________（4）分给 甲1本，乙2本，丙3本________ __
（5）分给3人，1人1本，1人2本，1人3本________________
（6）分给甲、乙、丙3人，每人至少1本____________________
（7）若将6本不同书放到5个不同盒子里，有________种不同放法
（8）若将6本不同书放到5个不同盒子里，每个盒子至少1本，则有_____种不同放法。
（9）若将6本不同书放到6个不同盒子里，恰有一个空盒子的方法_____。
（10）若将6本书放到四个不同盒子中，每个盒子至少一本____________
（1 1）若将6本编号为1，2，3，4，5，6的不同的书放到编号为1，2，3，4，5，6的6个不同盒子中，
要求有3本书的编号与盒子不一致的放法______________
（12）将6名优秀指标分到4个不同的班中去，每班至少1名，则分法种数_______
从中得出注意问题：分清是否是平均分配，有无归属，如2本书平均分成2份，仅有一种分法，而7
2< br>C
2
C
本书按2，2，3来分有
C
4
2
2
种分法。
A
2
3
7
类型三：数字问题
例3：现有0，1，2，3，4，5共6个数字
（1）可组成数字可重复的5位数有_____ _个（2）可组成无重复数字的5位数_____ _个
（3）可组成无重复数字的5位偶数的个数_ 个（4）可组成能被5整除的无重复数字的五位数____个
（5）在（3）中所有的偶数中，从小到大，第100个数是____________个
（6）用1，2，3，4组成无重复数字的四位数，所有这些四位数的数字和是__ __，所有这些
四位数的和是_____ ___
（7）由0，1，2，3，4，5六个数构成四位数中个位数与百位数之差的绝对值为4的有____ _个
（8）在由数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的5位数中，大于23145且小于435 21的数有____个。
（9）若从1到100这100个自然数中，任取20个数，要求这20个数两两不相邻的选法__ __种。
（10）1800的正约数的个数为___ _个
类型四：几何问题
例4（1）从正方体的6个面中任选取3个面，其中有2个面不相邻的选法种数是___ _
（2）从正方体的8个顶点中，任取两点相连，可形成__ __对异面直线。
（3）从正方体的8个顶点中任取3点连成一个三角形，其中直角三角形有__ __个。
（4）从三棱柱中，任取两个顶点连成一条直线，其中异面直线有__ __对。

1

（5）在四面体的顶点、各棱中点共10个点中，
A
A
5

任取4点，使其不共面，不同取法有__ __种。
A
4

A
3

G
（6）如图，在
MON
的边OM上有5个异于O的点，
H
A
2

M
A
1

ON上有4个异于O的点，以这10个点为顶点，可
D
B
N
得________个三角形。
O

B
1

B
2

B
3

B
4

F
（7）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点
E
C
为顶点的三角形共有____个。
（8）A、B、C、D是海上四岛，要建三座桥，将四岛联接
6
5
起来，则不同建桥方案有____种。
（9）在平面直角坐标系中，平 行直线X=n（n：0，1，2，3，4，5）与平行直线y=m(m:0，1，2，3，4，
5)组成 图形中，矩形有____个。
x
2
y
2
（10）从集合

1,2,311

中任取两个元素，作为椭圆方程
2

2< br>1
的m、n，且能组成落在矩形区
mn
域
B

( x,y)||x|11且|y|9

内的椭圆个数为____个
（11）已知直 线
axby10(ab0)
与圆
xy50
有公共点，且公共点 的横、纵坐标为整数，
这样的直线有________条。
（12）
ABC
内有任意三点不共线的2005个点，加上A、B、C三个顶点共2008个点，把这2008个
点连 线形成互不重叠的小三角形，则一共可形成小三角形______个。
（13）若直线方程
A xBy0
的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7这六个数字中取不同的数而得到，
则 这样的方程表示不同直线的条数是_________。
（14）空间中有12个点，其中5点共面， 此外无任何四点共面，这12个点可确定______个不同的平面。
（15）如图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边
的三角形有_______个。
（16）从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取3条的不同取法共
有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边构成钝角三角形的个数
为m，则
2222
m

_________。
n
类型五：涂色问题
15题
例5：（1）如图用5种不同颜色给图中A、B 、C、D四个区域涂色，规定每一区域只涂一种颜色，相邻
区域涂不同色，共有_______种不同涂 法
2
A
B
C
D
3
1
5
4

1

题图



2题图

（2）如图一地区有5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4 种颜
色供选择，则不同着色方法有_______种。

（3）某城市中心广建一花 圃，花辅分6个部分，现有4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相
邻区域不能栽种同一种花，则不同 栽种方法有_______种。
S
C
D
B

3题图 4题图
（4）如图将一四棱锥每一个顶点染上同一种颜色，并使同一条棱上的端点颜 色不同，如果仅有5种颜
色供使用，则有______种不同染色方法。
H
2

（5）直线
xm,yx
将圆面
x y4
分成若干块，现用5种不同颜色给这若干块涂色，每块只涂
一种颜色，且任意两块不同色 ，共有120种涂色，则m的取值范围是_______。
y
22
O

x



5题图 6题图
（6）如右图所示，用5种不 同颜色着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可反复利用，则
不同着色方案有______种 。
类型六：列方程求解问题
例6：（1）某场足球比赛的计分规则是胜一场得3分，平一场 得1分，负一场得0分，一球队打完15
场后积33分，若不考虑顺序，则该队胜、负、平的情况共有多 少种？

（2）某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别是60元、70元的单 片软件和盒装磁带，根据
需要，软件至少买3件，磁盒至少买2盒，则不同的选购方法有几种？
（3）一个口袋内有4个不同的红球和6个不同的白球。
①从中任取4个球，使红球的个数不比白球少，这样的取法有多少种？

②若取一红球记2分，取一白球记1分，从口袋中取5个球，使总分不少于7的取法种数有多少种？ < br>（4）一铁路原有n个车站，为适应客运要求，新增m个车站（
m1
），客运票增加了 62种，则原有
车站_______个，现有________个。
类型七：选人问题
例7：现从12人中选出5人参加一项活动，求满足下列条件的选法。
（1）A、B、C三人必须入选：
（2）A、B、C三人不能入选：
（3）A、B、C三人中只有1人入选：
（4）A、B、C三人中至少有1人入选：
（5）A、B、C三人中至多二人入选：
例8：（1）在11名工人中，有5人只会排版，4 人只会印刷，还有2人既会排版也会印刷，现从11人
中选4人排版，4人印刷，共有_____种不同 选法。
（2）某外商计划在4个侯选城市投资3个不同的项目，且在每一城市投资项目不超过2个，则 该
外商不同的投资方案，有______种。
（3）函数
f:

1 ,2,3



1,2,3

满足
f(f(x)) f(x)
，则这样的函数个数共有___个。
（4）写有0，1，2，5，7，9的六种卡 片，若允许9可以当6用，那么从中抽出三张卡片，可以组
成______个不同的三位数。
（5）设{
a
n
}是等差数列，从
a
1
,a
2,< br>
a
10

中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多可有________
（6）从6名学生中，选出4人分别从事A、B、C、D 四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从
事工作A，则不同的选派方案共有_____种。
（7）将
(xyz)
展开后，经合并同类项后的项数有______项。
10
3

参考答案


一、排队问题
6115765
例1:解(1)法1:
A
6
C
5
C
5
A
5
3720
(优限法)法2:< br>A
7
2A
6
A
5
3720
(排除法)
2572652
26
(2)
A
5
A
5
2400
(优限法)(3)
A
2
A
6
1440
(捆绑法)(4)
A
7
A
2
A
6
A
5
A
6
3600
(排除法)
7
A
7
111
(5 )
AAA960
(捆绑法)(6)
2
2520
(等可能法)( 7)
C
8
C
9
C
10
720
(插空法)
A
2
346
7
(8)
A
3
A
4
144
(插空法)(9)
A
7
5040
(分步计数)(10)
A
6
720
(优限法)
5
5< br>2
2
4
4
(11)
C
7
270
(分步计数,从7人中任取3人,如a,b,c,则改变原位置站法有2种,b,c,a和c,a,b)
(12) 1
7
A
7
2
(固定模型)(13)
3
840
(等可能)(14)6×
A
2
12
(固定模型,甲、乙两人坐法有A
3
3
(2,4)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(4,6)6种)
二、分组与分配问题
222
C
6
C
4
C
2
例2:解(1)
15种
(平均分组,无归属)(2)
C
6< br>2
C
4
2
C
2
2
90种
(平均分 配,有归属,而这种分法又可
3
A
3
123
分以下两步:①先平均分 成3份,每份2本,再分给3人)(3)
C
6
C
5
C
360
种 (不平均分配,无归属)
1231233
(4)
C
6
C
5
C
3
60
种 (不平均分配,有归属)(5)
C
6
C
5
C
3
A
3
360种< br> (不平均分配,有归属但不固定)
222431133
(6)
C
6
C
4
C
2
C
6
A
3
C6
C
5
C
3
A
3
540种
(分类计数,3人手中书本数可分(2,2,2)(1,1,4)(1,2,3)3类)
2
6
5
6
22
C
6
C
4
4
(7)5
种 (分步计数)(8)
CA1800种
(9)
CA10800种
(10)
CAA
4
1560种
(
2
A
2
2
3
(1,1,1,3)(1,1,2,2)两类 放法)(11)
C
6
240
种 (同例1第(11)题)(12)
C
5
10
种(隔板法)
62
6
5
5
3
6
4
4
有
14< br>14
4113413
三、数字问题例3:解(1)
C
5
6< br> (2)
C
5
A
5
600
(3)
A< br>5
C
2
C
4
A
4
312
(4)
A
5
C
4
A
4
216
(5)23510
4332
(6)
A
4
(1234)24 0,A
3
(1234)(1010101)66660
(7)48 (8)58 (9)
C
81

20

(10)36 (1800=
235,2,3,5
的取法种数分别有4,3,3种)
3
四、几何问题例4:解(1)
C
6
812
(2)174
32 2
4
(转化为找组成四面体的个数:
C
8
12,
每个四面 体有3对
444
3
112112
异面直线)(3)
C
8848
(4)
(C
6
3)336
(5)
C
10
4C
6
36141
(6)
C
5< br>C
4
C
5
C
4
C
5
C
4
90

2
3322
(7)
C
7
332
(8)
C
6
416
(共可有桥
C
4
6座
)(9)
C
6
C
6
225

11
(10)
C
10
C
8
872

(11)72 (12)2×2005+1=4011 (13)18 (14)211 (15)40 (16)
1

5
五、涂色问题例5:解:(1)180 (2)72(②④相同, 4×3×2×2=48种, ②④不同:4×3×2×1×1=24种)
(3)120(可分⑤②相同,⑤③相同,⑤②③都不同3类) (4)420(分A、C相同与A、C不同)
(5)(
2,2
) (6)540
六、列方程求解问题
例6: (1)解:设胜x场,平y场,负z场,则z=15－x－y,
3xy33,y333x0,


x11

又xy1

5

x11,



y0或

z4

(2)解:设买软件x个,磁带y个

x10


y 3或

z2

4

x9

种3


y6 共

z0


y可取2,3,4

x3时,
60x70y 500



x4时,y可取2,3
则

x3
共7种买法.



y2

x5时,y2



x6时,y2
43122< br>(3)解:①
C
4
C
4
C
6
C
4
C
6
115种

②设取出红球x个,白球y个,则
2xy7

又
2x4,0y6


x2

x3

x4


或

或



y3

y2

y1

23341
C
4
C
6
C
4
C
6
2
C
4
C
6
186种
22
(4)解:由已知
A
mn
A
n
62

311
(m1)0
m2
2
m  z



mm620 又
1m8

m2
经检验只有

成立.


n15
n
七、选人问题
例7:解:(1)36 (2)126 (3)378 (4)666
例8:解:(1)185(以4个只会印刷工人被选中人数分类标准分3类,
4431422 4
C
4
C
7
C
4
C
2
C
6
C
4
C
2
C
5
185

(5)756
(2)60种
(3)10(分以下3种类型)


1

1

1

1

1



2

2

2

1个

3个

2

2


3

3

3


3

3

(4)152(分4
①
类9,有0有9)

,有0无9,有9无0,无0无
②

(5)180 (6)240(以甲、乙两个被选中人数为分类标准)
mnl
1

2

3

③

6个

(7)66 (开展式中项为
xyx,(m,n,lz)则mnl10,若m0,
则n,l有11 种取法,m=1,n,l有10种
取法,…m=10,n,l有1种取法.∴1+2+3+…+11=6 6.)



5