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排列归纳
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象 ，难以找到解题的突破口。因而在求解排列
组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免 重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得
以快速准确求解。
一．直接法
1． 特殊元素法
例1、用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四 位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
A
5
A
4
=240 分 析：（1）个位和千位有5个数字可供选择
A
5
，其余2位有四个可供选择
A
4
，由乘法原理：
2
2
2
2
2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有
A
5
=60，1不在千位时，千位有
A< br>4
种选法，个位有
A
4
种，余下的有
A
4
，
共有
A
4
A
4
A
4
=192所以总共有1 92+60=252
二．间接法
当直2）可用间接法
A
6
2A
5
A
4
=252
432
11
3
11< br>2
2
例2、有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9， 将它们任意三张并排放在
一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，
而可 使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数
C
5
2A
3
个，其中0在百位的有
C
4
2

A
2

222
个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数
C
5
2A
3
－
C
4
2

A
2
=432（个）
333
333
222
三．插空法
当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3、在一个含有8个节目的节目单中，临 时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？
分析：原有的8个节目中含有9 个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有
A
9
A
10
=1 00中插
入方法。
四．捆绑法
当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 、4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
分析：先将男生捆绑在一起看成 一个大元素与女生全排列有
A
4
种排法，而男生之间又有
A
4
种排法，
又乘法原理满足条件的排法有：
A
4
×
A
4=576
练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种
（
C
4
A
3
）
2． 某市植物园要在30天内 接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校
人数较多，要安排连续参观2天 ，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（
C
29
A
28< br>）（注
意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有
C
29
其余的就是19所学校
选28天进行排列）
五．隔板法
名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法。
例5、某校准备组建一个由12人组成篮 球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分
配方案共 种 。
分析 ：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插
入7 块隔板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有
C
11
种
15
练习1.(a+b+c+d)有多少项？
当项中只有一个字母时，有
C
4
种（即a.b.c.d而指数只有15故
C
4
C
14
。
C
14
当项中有2个字母时，有
C
4
而指数和 为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，
2
1
7
11
44
44
23
119
1
110
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即
C
4
C
14
< br>当项中有3个字母时
C
4
指数15分给3个字母分三组即可
C
4
C
14

当项种4个字母都在时
C
4
C
14
四者都相加即可．
练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号
数，问有多少种不同的方法？（
C
16
）
3．不定方程X
1
+X
2
+X
3
+„+X
50
=100中不同的整 数解有（
C
99
）
六．平均分堆问题
例6、6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
分析：分出三堆书（a
1
,a
2
）,(a
3
,a
4
)，（a
5
,a
6
）由顺序不同可以有
A
3
=6种，而这6种分法只算 一种分
堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有
C
6
C
4
C
2
A
3
3
222
3
49
2
2
1
332
43
=15种
练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。
七． 合并单元格解决染色问题
例7、 如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．
下面分情况讨论:
2
(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时
5
4
3
2,4
不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数
A
4

1
（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得
A
4
种
着色法．
（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格


2,4

①
3,5
从4种颜色中选3种来着色这三个单 元格，计有
C
4

由加法原理知：不同着色方法共有2
A
4

4
4
4
3
A
3
3
种方法．

C
A
4
3
3
3
=48+24=72（种）
练习1.将3种作物种植在排成一行的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作
物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）
2．某城市中心广场建造一个 花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一
种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）

5

1
6

4
3．如图，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色 ，相邻部分不能用同一
3
2
颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种 要求的不同着色
种数．（540）

B

D
A
C

E


4．如图：四个区域坐定 4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服
装，且相邻两区域的颜色不 同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着
色方法是 种（84）
4


3
1
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2

5．将一四棱锥(如图)的每个顶点染一种颜色，并使 同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，
则不同的染色方法共 种（420）
A


E
B

D

C

八．递推法
例8、 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走
法？
分析：设上n级楼梯的走法为a
n
种，易知a
1
=1,a
2
=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：
是最后一步跨一级，有a
n -1
种走法，第二类是最后一步跨两级，有a
n-2
种走法，由加法原理知：a
n
=a
n-1
+ a
n-2
,
据此，a
3
=a
1
+a
2
=3,a
4
=a
#
+a< br>2
=5,a
5
=a
4
+a
3
=8,a
6
=13,a
7
=21,a
8
=34
,
a
9
=55,a
10
=89.故走上10级楼梯共有89种不同的
方法。
九.几何问题
1．四面体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有
种（3
C
5
+3=33）
2.四面体的棱中点和顶点共10个点（ 1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？任取4个
点，不共面的有多少个？
任取3个：
C
10
-4
C
6
+4-3
C
4
+3-6C
4
+6+2×6=29
任取4个：
C
10
4C
6
63141

(2)以这10个点为顶点，共能确定多少个三棱锥、四棱锥？凸棱锥呢？
4444
三棱锥 C
10
-4C
6
-6C
4-3C
4
=141 四棱锥 6×4×4=96，3×6=18 共有114，只能构成三棱锥和四棱锥，故凸
棱锥共141＋114＝255（个）
十． 先选（组合）后排（排列）法
例9、有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人 中选派4人承担这三项任务，不同
的选派方法有（ ）
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种
分析：先从10人中选出2人
练习：1.从0到9十个数字中,任选2个奇数和3个偶数,能组成多少个没有重复数字的五位数? < br>(1)如果偶数未选0:
C
5
C
4
A
5
4 800
；
(2)如果偶数选了0:
C
5
C
4
A
4
A
4
5760
，故能组成4800+5760=10560( 个)没有重复数字的五位数.
十一．用转换法解排列组合问题
例10、某人连续射击8次有 四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结
果有多少种．
解： 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．
A
5
=20种
例11． 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
解：把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问
题．
C
9
=126种
例12、从1，2，3，„，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．
解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其中黑球不相邻的排列问题。
C< br>991

例13 、某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从 西南角走到东北角，路程最
短的走法有多少种．
解：无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把 问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的组合问
题．
C
7
=35（种）
例14 、一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的
3
10
5
2
2214
235
44
3
3333
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走法．
解： 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个
相同 的黑球与6个相同的白球的排列问题．
C
12
=924（种）．
10
例15 、求（a+b+c）的展开式的项数．
αβγ
解：展开使的项 为abc,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排
列问题．
C
12
=66（种）
例16 、亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比
赛， 负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那
么 所有可能出现的比赛过程有多少种？
解：设亚洲队队员为a
1
,a
2
，„,a
5
,欧洲队队员为b
1
，b
2
，„，b
5
，下标表示事先排列的出场顺序，若以依
次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字 母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队
员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为 5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程
的总数为
C
10
=252 （种）
十二．转化命题法
例17 、圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？
分析：因 两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题
化为圆周上 的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有
C
15
=1365（个）
十三．概率法
例18 、一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，
那么该天的课程表有多少种排法？
分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学 课排在体育之前的概率相等，均为
例所求的排法种数就是所有排法的
1
2
1< br>2
4
2
6
6
，故本
，即
1
2
A=360种
十四．除序法
例19、用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？
解（ 1）
A
7
7
3
A
3
（2）
A
7< br>3
7
4
A
3
A
4

十五．错位排列
例20、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法
有 种（9）
公式 1）
a
n
(n1)(a
n 1
a
n2
)
n=4时a
4
=3(a
3
+a
2
)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排．
2）
a
n
=n!(1-
1
1!
+
1
2!
-
1
3!
+„+

1

n
1
n!

练习：有五位客人参加宴会， 他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家
后，他们的妻子都发现他们戴了 别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）


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