⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上 排（人找座位），有
P
8
3
种．
⑸3列火车编为1，2，3号，从 8股车道中任取3股往上排，共有
P
8
3
种．
⑹土地编1，2，3 号，从8种菜籽中任选3种往上排，有
P
8
3
种。

7. 现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分
别参加数学、英 语、音乐、美术四个兴趣小组：
(1)共有多少种选法?
(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?
(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?
(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少
种?
【解析】 （1）从3个男同学中选出2人，有
有
32
=3种选法。从4个 女同学中选出2人，
2
43
=6种选法。在四个人确定的情况下，参加四个不同的小 组有4×3×2×1=24
2
种选法。
3×6×24=432，所以共有432种选法。
（2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选
法。
3×6×12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种。
（3）考虑参 加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选
出2人，从3个女同学中选出1人， 3个人参加3个小组时的选法。
3×3×3×2×1=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有5 4种，432-54=378，
所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种。
（4 ）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问
题相当于从3个男同学中选 出2人参加两个不同的小组，从3个女同学中选出1
人参加美术小组时的选法。
3×2×3= 18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有
18种，216-18=198 ，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是
女同学的选法有198种。
< br>8.某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手
分成 8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16
人再分成
4
个小组，每组
4
人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的
4< br>个第
1
名
进行
2
场半决赛和
2
场决赛，确定
1
至
4
名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？
65
2
【解析】 第一阶段中，每个小组内部的
6
个人每
2
人要赛一场，组内赛
C
6
15
场，
21
共
8
个小组，有
158120
场；第二阶段中，每个小组内部
4< br>人中每
2
人赛一场，
43
6
场，共
4
个 小组，有
6424
场；第三阶段赛
224
场．根
21据加法原理，整个赛程一共有
120244148
场比赛。
2
组内赛
C
4


9.由数字1，2，3组成五位 数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五
位数共有________个。(200 7年“迎春杯”高年级组决赛)
3
至少各出现一次，【解析】 这是一道组合计数问题．由于 题目中仅要求
1
，没有确定
1
，
2
，

3
出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，
2
，
从由
1,2,3
组成的五位数中，去掉仅有
1
个或
2
个数字组成的五位数即可．
1
3
中恰有一个数字出现
3
次，(法1)分两类：⑴
1
，这样的数有
C
3
5460(个)；
2
，
2
⑵
1
，
2
，
3
中有两个数字各出现
2
次，这样的数有
C
3
2
 5C
4
90
(个)．符合题意
的五位数共有
6090150
(个)．
(法2)从反面想，由
1
，
2
，
3组成的五位数共有
3
5
个，由
1
，
2
，
3
中的某
2
个数
字组成的五位数共有
3(2
5
2)
个，由
1
，
2
，
3
中的某
1
个数字组成的五位数共有
3
个，所以符合题意的五位数共有
3
5
 3(2
5
2)3150
(个)。

10.
10
个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？
【解析】 ( 法1)乘法原理．按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个
被选中的，可以是除了自 己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有
7
种选择，
总共就有
710 70
种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、
乙，选了乙、甲”这样的 情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结
果应该是(
10111
)
10235
(种)．
2
(法2)排除法．可以从所有的两人组合中 排除掉相邻的情况，总的组合数为
C
10
，
2
而被选的两个人相邻的 情况有
10
种，所以共有
C
10
10451035
(种)。

11. 8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和 大智不能相邻，
小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？
【解析】 冬冬要站在 小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的
位置就一定要留给冬冬，而两边的 位置可以任意地分配给小悦和阿奇．
小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻
小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑
31
只满足第一、三个条件的站法总数 为：
C
7
P
2
2
C
4
P
2
2
P
3
3
3360
（种）
同时满足第一、三 个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：
3
C
6
P
22
P
3
2
P
2
2
P
2
2
960
（种）
因此同时满足三个条件的站法总数为：
33609602400
（种）。




C
12. 小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?
【解析】 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插
入“木棍”,则将lO 块糖分成了两部分。
我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，
如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：
○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩
下的3粒． < br>不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不
插入,且相互 独立，故共有2
9
=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法。

13. 小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？
【解析】 分三种情况来考虑：
⑴ 当小红最多一天吃
4
块时，其余各每天吃
1
块，吃
4
块的这天可以是这七天里的

任何一天，有
7
种吃法；
⑵ 当小红最多一天吃
3
块时， 必有一天吃
2
块，其余五天每天吃
1
块，先选吃
3
块
的那天，有
7
种选择，再选吃
2
块的那天，有
6
种选择， 由乘法原理，有
7642
种吃法；
⑶ 当小红最多一天吃
2
块 时，必有三天每天吃
2
块，其四天每天吃
1
块，从
7
天中< br>765
35
(种)吃法。
321
根据加法原理，小红一共 有
7423584
(种)不同的吃法．
3
选
3
天， 有
C
7

63
10
块糖有
9
个空，还可以 用挡板法来解这道题，选
6
个空放挡板，有
C
9
C
984
(种)
不同的吃法。

14.把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？
2
【解析】 (法1)先给每人2个，还有14个苹果，每人至少分一个，13个空插2个板， 有
C
13
78
种分法．
(法2)也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。

15.有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？
【解析】 如图 ：○○|○○○○|○○○○，将10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之
间共有9个空，从头开始 吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖
线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉 的，九个空中画两条竖线，一共
有
98236
种方法．

1 6.某池塘中有
A、B、C
三只游船，
A
船可乘坐
3
人，< br>B
船可乘坐
2
人，
C
船可乘坐
1
人，
今有
3
个成人和
2
个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船 上必须至少有个
成人陪同，那么他们
5
人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少 种？
【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有
1
个成人陪同，所以儿童不能乘坐
C
船．
⑴若这
5
人都不乘坐
C
船，则恰好坐满
A、B
两船 ，①若两个儿童在同一条船上，
1
只能在
A
船上，此时
A
船 上还必须有
1
个成人，有
C
3
3
种方法；②若两个儿童不
在同一条船上，即分别在
A、B
两船上，则
B
船上有
1个儿童和
1
个成人，
1
个儿童
11
有
C
2
2
种选择，
1
个成人有
C
3
3
种 选择，所以有
236
种方法．故
5
人都不乘
坐
C
船有
369
种安全方法；
1
⑵若这
5
人中有
1
人乘坐
C
船，这个人必定是个成人，有
C
3
其余的2
个
3
种选择．
成人与
2
个儿童，①若两个儿童在同 一条船上，只能在
A
船上，此时
A
船上还必须
1
有
1
个成人，有
C
2
2
种方法，所以此时有
326种方法；②若两个儿童不在同
1
一条船上，那么
B
船上有
1个儿童和
1
个成人，此时
1
个儿童和
1
个成人均有C
2
2
种选择，所以此种情况下有
32212
种方法； 故
5
人中有
1
人乘坐
C
船有
61218
种安全方法．所以，共有
91827
种安全乘法．

17.从
10
名男生，
8
名女生中选出
8
人参加游泳比赛．在下列条件下， 分别有多少种选法？
⑴恰有
3
名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；
⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。
35
【解析】 ⑴恰有
3
名女生入选，说明男生有
5
人入选 ，应为
C
8
C
10
14112
种；
⑵要求至 少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符

合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：
8871C
18
C
10
C
10
C
8
4 3758
；
4
⑶
4
人必须入选，则从剩下的
14
人中再选出另外
4
人，有
C
14
1001
种；
84
⑷从所有的选法
C
18
种中减去这
4
个人同时入选的< br>C
14
种：
84
C
18
C
14
43758100142757
．
⑸分三类情况：
4
人无人入选；< br>4
人仅有
1
人入选；
4
人中有
2
人入选，共 ：
81726
C
14
C
4
C
14
 C
4
C
14
34749
。

18.在6名内 科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小
组送医下乡，按照下列条件 各有多少种选派方法？
⑴ 有3名内科医生和2名外科医生；
⑵ 既有内科医生，又有外科医生；
⑶ 至少有一名主任参加；
⑷ 既有主任，又有外科医生。
654
3
【解析】 ⑴ 先从
6
名内科医生中选
3名，有
C
6
20
种选法；再从
4
名外科医生中321
选
2
名，
43
2
共有
C4
6
种选法．根据乘法原理，一共有选派方法
206120
种．
21
⑵ 用“去杂法”较方便，先考虑从
10
名医生中任意选派
5
人，有
109876
5
C
10
252
种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生
54321
的情况．由于外科医生只 有
4
人，所以不可能只派外科医生．如果只派内科医
51
生，有
C< br>6
C
6
6
种选派方法．所以，一共有
2526246
种既有内科医生又
有外科医生的选派方法。
⑶ 如果选
1
名主任， 则不是主任的
8
名医生要选
4
人，有
8765
2C
8
4
21
种选派方法；如果选
40
2
名主任 ，则不是主任的
8
名
4321
876
3
医生要选
3
人，有
1C
8
156
种选派方法．根据加法原理 ，一共有
321
14056196
种选派方法．
⑷ 分两类讨论：
9876

126
种选取方法；
4321
② 若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余
4
人不能全选内科医生，用“去
876 55432
4
杂法”有
C
8
4
C
565
种选取法．
43214321
根据加法原理，一共有< br>12665191
种选派方法。
①若选外科主任，则其余
4
人可 任意选取，有
C
9
4


19.在10名学生中，有5人会 装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，
又会安装音响设备，今选派由
6人组成的安装小组，组内安装电脑要
3
人，安装音响设备要
3
人，共有多 少种不同的选人方案？
【解析】 按具有双项技术的学生分类：
3
⑴ 两人都不选 派，有
C
5

543
10
(种)选派方法；
321

⑵ 两人中选派
1
人，有
2
种选法．而针对此人的任务又分两类：
5 4
10
(种)选法，而另外
21
会安装音响设备的
3
人 全选派上，只有
1
种选法．由乘法原理，有
10110
(种)
选 法；
32
若此人安装音响设备，则还需从
3
人中选
2
人 安装音响设备，有
C
3
2
3
21
543
3
(种)选法，需从
5
人中选
3
人安装电脑，有
C
5
10
(种)选法．由乘法
321
原理，有
31030
(种)选法．
根据加法原理，有
103040
(种)选法；
综上所述，一共有
24080
(种)选派方法．
⑶ 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：
①两人全安装电脑，则还需要从
5
人中 选
1
人安装电脑，另外会安装音响设备的
3
人全选上安装音响设备，有
515
(种)选派方案；
若此人要安装电脑，则还需
2
人安装电脑， 有
C
5
2

②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有
C
5
2
C
3
2

派方案；
5432
60
(种)选
2121
543
30
(种)选 派方案．
321
根据加法原理，共有
5603095
(种)选派方案．
综合以上所述，符合条件的方案一共有
108095185
(种)．
3
③两人全安装音响设备，有
3C
5
3

2 0.有11名外语翻译人员，其中
5
名是英语翻译员，
4
名是日语翻译员，另 外两名英语、日
语都精通．从中找出
8
人，使他们组成两个翻译小组，其中
4
人翻译英文，另
4
人翻译日文，
这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共 可以开出多少张？
【解析】 针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类：
1
⑴ 多面手不参加，则需从
5
名英语翻译员中选出
4
人， 有
C
5
4
C
5
5
种选择，需
从
4
名日语翻译员中选出
4
人，有
1
种选择．由乘法原理，有
515
种选择．
⑵ 多面手中有一人入选，有
2
种选择，而选出的这 个人又有参加英文或日文翻译
两种可能：
543
10
321种选择，需从
4
名日语翻译员中选出
4
人，有
1
种选择 ．由乘法原理，有
210120
种选择；
3
如果参加英文翻译，则需 从
5
名英语翻译员中再选出
3
人，有
C
5

1
如果参加日文翻译，则需从
5
名英语翻译员中选出
4
人，有C
5
4
C
5
5
种选择，
31
需从
4
名日语翻译员中再选出
3
名，有
C
4
C
4
4
种选择．由乘法原理，有
25440
种选择．根据加法原理， 多面手中有一人入选，有
204060
种
选择．
⑶ 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：
①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种．

情况① 中，还需从
5
名英语翻译员中选出
2
人，有
C
5
2

54
10
种选择．需从
21
4
名日语翻译 员中选
4
人，
1
种选择．由乘法原理，有
110110
种选择．
1
情况②中，需从
5
名英语翻译员中选出
4
人 ，有
C
5
4
C
5
还需从
4
名
 5
种选择．
2
日语翻译员中选出
2
人，有
C
4
43
6
种选择．根据乘法原理，共有
21
156 30
种选择．
情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择．剩下的需从
5
名英语
3
翻译员中选出
3
人，有
C
5
< br>543
需从
4
名日语翻译员中选出
3
人，
10
种选择，
321
31
有
C
4
C
4< br>4
种选择．由乘法原理，有
1210480
种选择．
根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有
103080120
种选择．
综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出
560120185
张．


1．千位数字与十位数字之差为2（大减小），且不含重复数字的四位数有多少
个？
解答：
8A
8
7A
8
=15×56=840（个）

2． 恰有两位数字相同的三位数共有多少个？
解答：
9×10×1 0－9－（
A
9
＋2×
A
9
）＝243（个）
计 算三位数字各不相同的三位数时，我们是把“不包含0”、“包含0”两类情况分别
计算得到的，共有< br>A
9
＋2×
A
9
＝648个。我们也可以利用分步计数原理来 进行计算，同样
得到：9×9×8＝648个。
恰有两位数字相同的三位数共有243个

32
32
22
3．某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记 得是由四个非0数码组成，
且四个数码之和是9。为确保打开保险柜，至少要试多少次？
解答：

122221
＋
A
4
＋
A
4
＋
A
4
＋
A
4
＋
A
4
＝56（次）
A
4
为确保打开保险柜，至少要试56次

4．从3，5，7，11这四个质数中任取两个数相乘，可以得到多少个不同的乘积？
解答：
2
C
4

43
6

21
故可以组成6个不同的乘积。

5．
平面内有7个点，任 何3点都不在同一条直线上，以每三点为顶点画一个三
角形，一共可以画多少个
三角形？
解答：
3
C
7

765
35
（个）
321
故可以画出35个三角形。







1．
甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。
问：
（1） 甲拿到自己作业本的拿法有多少种？

（2）至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？
解答：
甲拿到自己的作业本，剩下乙、丙、丁和3本作业本，拿法没有限制，等价于一个全排列。
3
甲拿到自己作业本的拿法有：
A
3
6
（种）
用包含与排除的方法，先求出总的拿法，再减去其中所有人都拿到了自己的作业本的情况。
4
这样的拿法有
A
4
－123
（种）

2．
书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖
起 排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？
解答：
4533
每种书 内部任意排序，分别有
A
4
，
A
5
，
A
3
种排法，然后再排三种类型的顺序，有
A
3
种排法，整个过程分4步完成。
4533

A
4
A
5
A
3
 A
3
＝4×3×2×1×5×4×3×2×1×3×2×1×3×2×1
＝103680（种）
一共有103680种不同排法。

3．
用数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的：
①三位偶数；②四位数；③个位是6的五位数；④尾数不是25的六位数。
解答：
①三位偶数：个位只有2、4、6个数字可选，即
A
3
。个位确定后，还剩下5个数字 ，
可以作为十位和百位，即
A
5
。
②四位数：从6个数字中选出4 个，作为四位数的千位、百位、十位、个位。排列顺序
不同，所代表的四位数就不同。
③个位是6的五位数：题目等价于“用1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数”。
④尾数不是25的六位数：运用包含与排除的方法，从所有的可能情况中减掉尾数是25
的。
2
1

12
①
A
3
。 < br>A
5
35460
（个）
4
②
A
6
。
6543360
（个）
4
③
A
5
。
5432120
（个）
64
④
A
6
。
A
4
654321432172024696
（个）

4．
用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？
解答：
小于1000的自然数包括一位数、两位数、三位数，可以分类计算。注意“0”是自然数，
且 不能作两位数、三位数的首项。
12
5＋
A
4
A
4＋
A
4
＝69（个）
A
4
11
可以组成69个小于1000的没有重复数字的自然数。

5．
4名男生和2名女生去照相，要求两名女生必须紧挨着站在正中间，有几种
排法？
解答：
给6个人分配6个位置的问题。我们把位置从左到右进行编号1～6，两名女生站在中
间，即只能站在3、4号位置上，但她们俩可以互换位置，即
A
2
。4个男生 站在剩下的1、2、
5、6号位置上，没有特殊要求，即
A
4
。
由分步计数原理：
24
A
2
A
4
214 32148
（种）
4
2
故有48种排法。

6．
用0、1、2、3、7、8六个数字可以组成 个能被9整除的没有重复数
字的四位数。
解答：
根据能被9整除的数的数字特征， 在0、1、2、3、7、8这六个数字中，只有1、2、7、
8和0、3、7、8组成的四位数能被9整 除。

4
用1、2、7、8可以组成
A
4
；
24
（个 ）
13
用0、3、7、8可以组成
A
3
；
A
3
18
（个）
共计24+18=42（个）。
则可以组成42个满足要求的四位数。

7．
5个人并排站在一起，如果甲必须站在中间，有多少种不同的站法？
解答：
由于甲 必须站在中间，那么实际上就是其余四个人去站剩下的四个位置，这是一个全排
列问题，且n=4，
共有
A
4
4
4!
4×3×2×1＝24种不同站法。

8．
5个人排队，其中甲必须不站在两端的排法一共有多少种？
解答：
甲的位置受限制，我们可以先排甲，既然他不能站在两端，那么还剩3个位置可以选
择，然后排 其余的4个人站剩下的4个位置。
4
3A
4
3432172
（种）
则共有72种站法。

9． 张华、李明等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法：
解答：
（1）七个人排成一排；
7个元素全排列。
7
A
7
5040
（种）
（2）七个人排成一排，张华必须站在中间；
只需排其余6个人站剩下的6个位置。
6
A
6
720
（种）
（3）七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间；
先确定中间的位置站谁，再排剩下的6个位置。

6
2A
6
1440
（种）
（4）七个人排成一排，张华、李明必须站在两边；
先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的张华和李明还可以互换位置。
5
2A
5
240
（种）
（5）七个人排成一排，张华、李明都没有站在边上；
同样先排两边，从除张华、李明之外的5个人中选2人分列左右两边，再排剩下的5
个人。
25
A
5
A
5
2400
（种）
（6）七个人排成两排，前排三人，后排四人；
七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的 。现在排成两排，不管前后排各有几个人，
7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排 列。
7
A
7
5040
（种）
（7）七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华、李明不在同一排。
可以分为两类情况： “张华在前，李明在后”和“李明在前，张华在后”，两种情况是
对等的，所以只要求出其中一种的排法 数，再乘以2即可。
5
43A
5
22880
（种）

10．工厂从100件产品中任意抽出三件进行检查，问：
（1） 一共有多少种不同的抽法？
（2） 如果100件产品有2件次品，抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法
有多少种？
（3） 如果100件产品中有2件次品，抽出的3件中至少有一件是次品的抽
法有多少种？
解答：
（1）
C
100

3
1009998
161 700(种)

321
9897
9506(种)

21
共有161700种抽法；
（2）
C
2
C
98
2
12

3件中恰好有一件是次品的抽法有9506种；
33
（3）
C
10 0
C
98
1617001520969604(种)

3件中至少有一件是次品的抽法有9604种。



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