帝国时代ii征服者-圣诞节的来源

排列组合中的分组与
分配问题

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排列组合中的分组分配问题
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念
n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题 ，分定向分配和不
定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题 有不
平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者
组 与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不
同，仍然是可区分的 .对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方
法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本.
(3)一组四本，另外两组各一本.
22
分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是
C
2
6
C4
C
2
=90(种) ，这90
种分组实际上重复了6次。我们不妨把六 本不同的书写上1、2、3、4、5、6六
个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6 )与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书
是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这 两种分法是同一种分
法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除
CC
4
C
2
以组数的全排列数
A
，所以分法是
6
3
=15(种)。(2)先分组，方法是
A
3
3
3
222
C
6
C
5
C
3
，那么还要不要除以
A
3
？我们发现，由于每组的书的本数是不一样
23
的，因此不会出现相同的 分法，即共有
C
1
6
C
5
C
3
=60(种 ) 分法。
123
3
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2

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(3)分组方法是
C
4
6< br>C
2
C
1
=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一
2
C
1
组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是
C
6
C
2
=15(种)。
A
2
411
结论1： 一般地，n个不同的元素 分成p组，各组内元素数目分别为
m
1
，m
2
，…，m
p< br>，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是
CC
m
1
n
m
2
nm
1
C
m
3
nm
1
m
2

C
m
p
p
m
A
k
k
。
三、基本的分配的问题
(一)定向分配问题
例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不
同的分配方法？
(1) 甲两本、乙两本、丙两本.
(2) 甲一本、乙两本、丙三本.
(3) 甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配 问
222
123
题，由分布计数原理不难解出：分别有
C
6
C
4
C
2
=90(种)，
C
6
C
5
C
3
=60(种)，
C
6
C
2
C
1
=30(种)。
411
(二)不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不
同的分配方法？
(1) 每人两本.
(2) 一人一本、一人两本、一人三本.
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(3) 一人四本、一人一本、一人一本.
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该 类题中比较困难的问
题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。
实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组
4
C
2
33
123
方法数再乘以
A
，即
C
6
C
3
A
3
=90(种)，
C
6
C
5
C
3
A
3
=360(种)
A
3
3
3< br>222
C
6
C
2
C
1
3
A
3
=90(种)。
2
A
2
411
结论2. 一般地，如果 把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对
象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组 后排列的问题，即分组方
案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。

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