14种策略7大模型绝杀排列组合
然无存-寒食节清明节
重庆市万州二中 孙宇
专题复习——排列、组合的应用
14种策略7大模型“绝杀”排列组合
排列组合问题是高
考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践
证明，掌握模型和解题方法
，识别并化归到模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径。
第一部分——组合的常见技巧
策略一：合理分类与准确分步策略
分类相加:每类方法都能独立地完成这件事 ；分步相乘:只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
【例1】有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是法语译员，另外两名是英、法语均精通，
从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译法语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
44314224
【解析】：按只会英语的有
4名、3名、2名分类
C
5
C
6
C
5
C
2
C
5
C
5
C
2
C
4
【例2】见后面【例19】
【特别提醒】
在解排列组合问题时，一定要以两个原理
为核心。按元素的性质分类，按事
情发生的过程分步。综合题通常是整体分类再局部分步。
【类题演练】
1、360的正约数（包括1和360）共有 个。
（答案24）
2、工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不
能同时使用，
且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有____种
（答案15）；
3、公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不
能同给一个部门；
另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种
（答案36）；
4、
f
是集合
M
4,5,6
到集合
N
1,0,1
的映射。
（答案①7；②9）
①若
f(4)f(5)f(6)
，则映射共有
个 ； ②若
xf(x)3
为奇数，则映射共有 个。
5、（20
10湖南卷理科7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信
息，不
同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相
同的信
息个数为（ ）
（答案B）
（A）10 （B） 11
（C）12 （D）15
6、（2010浙江卷17）有4位同学在同一天的上
、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握
力”、“台阶”五个项目的测试，每位同
学上、下午各测试一个项目，且不重复。若上午不测“握力”项
目，下午不测“台阶”项目，其余项目上
下午都各测试一人，则不同的安排方式共有 种（用数
- 1 -
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字作答）。
（ 答案264）
策略二：不同元素可重复的分配求幂法
不同元素重复的分配问题要区分两类元素：一类可以重
复，另一类不能重复，从不可重复的一类
进行分配，“人选一个房间，房间不是住一个人”。
【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）
（A）
8
（B）
3
（C）
A
8
（D）
C
8
【解析】：冠
军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，因此共有
8
种不同的结果。所以选A
【类题演练】
1、有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种
不同的报名方法？（答案
3
）
2、有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（答案
4
）
3、将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
（答案
4
）
3
3
4
3
38
33
策略三：相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
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☆
【例4】五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻且
B
在
A
的右边，那么不同的排法种数有
4
【解析】：把
A,B
视为一人，且
B
固定在
A
的右边，则本题相当于4人的全排
列，
A
4
24
种
【类题演练】
45
1、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____
（答案
A
4
；
A
5
）
2、由1，2，3，4，5
组成不重复的5位数，1、3之间恰有两个偶数，则有_____
个。（答案
A
2
A
2
A
2
）
2223、停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有9
多少种？
（答案
A
9
）
策略四：相离问题（不相邻问题
）
插空法
元素相离问题，可先把无位置要
求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个
元素的空位和两端.
【例5】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
- 2 -
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52
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为
A<
br>5
种，再用甲乙去插6个空位有
A
6
种，不同的排法种数是
5
2
A
5
A
6
3600
种
【例6】
3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【解析】：先拿出
5个椅子排成一排（注意空椅子不排序），在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*
○*（*表示
椅子，○表示空）再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A
4
=24种.
【例
7】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三
盏，
也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
3
【解析】：把此问题当作一个排
序模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C
5
种方
3
法,所以满足条件的关灯方案有10种. （注意亮的灯、不亮的灯均不排序）
【特别提醒】
从这三个例子看得出来，先排的元素和后插的元素都有可能有序，也可能无序，所以做题时一定要分析清楚。
【类题演练】
1、
高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求
52
两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
（答案
A
5
A
6
＝3600C）
2
2、（1）连续发射8发子弹4发命中，恰有3发连中，有 种命中方式。
（ 答案（1）
A
5
；）
2
（2）连续发射8发子弹4发命中，恰有两次2发连中，有 种命中方式。 （
答案（2）
C
5
）
策略五：元素优先法（位置优先法）
【分析法】
某个或几个元素要或不要排在指定位置，可先处理这个或几个元素，再排其它的元素（元素
优先
法）； 也可针对特殊元素，先把指定位置安排好元素，再排其它的元素（位置优先法）。
【例8】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A.
36种 B. 12种 C. 18种
D. 48种
23
【解析】：方法一：
从后两项工作出发，采取位置分析法。
A
3
A
3
36
- 3 -
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113
方法二：元素分析法。分两类：若小张或小赵入选，则有选法
C
2
C
2
A
3
24
；若小张、小赵都入选，
22
则有选法A
2
A
3
12
，共有选法36种，选A.
【特别提醒
】
当元素多，但是位置少的时候，“元素分析法”一定要注意特殊元素可能被选
中，也可能不被选中，这时要注意分类。因此这种情况一般选用“位置分析法”。
【类题演练】
1、某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现<
br>有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，
则不同的装饰效果有 种
（答案300）；
2、某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十
位个位上的数字（如
2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0.
千位、百位上都能取0. 这样设计出来的
密码共有 种
（答案100）；
3、用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数
个 （答案156）；
4、某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、
四节；语文不排在第一、二节，则不
同排课方案种数为
（答案6）；
5、四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。若恰有两个空盒的放法有
种；
若甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有 种
（答案84；96）；
策略六：多排问题单排法
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
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【例9】把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为（ ）
55
（A）
A
15
A
10
15
55535553
（B）
A
（C）
（D）
A
AAAAAAA
15
3
15
【解
析】本题可看成左、中、右各5人，因此本题可看成15个不同的元素排成一排，共
A
15种
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【例10】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素
，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排
在后排，有多少种不同排法？
【解析】看成一排
，某2个元素在左边四个位置中选排2个，有
A
4
种，某1个元素排在右边的四个位<
br>125
置中选一个有
A
4
种，其余5个元素任排5个位置上有
A
5
种，故共有
A
4
A
4
A
5
5760
种排法.
15
2
【类题演练】
1、若2n个学生排成
一排的排法数为x，这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，
则x,y的大小关系为
_____
（答案：相等）；
- 4 -
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策略七：环排问题线排法
排成环与排成一排
的不同点在于：排成环形没有首尾之分，所以固定一个元素并从此位置把圆形展
成直线。
【例11】 5人围桌而坐,共有多少种坐法?
【解析】A——B——C——D——
E——A，固定A，其余元素有
(51)!4!
种排法。
策略八：定序问题缩倍法、插空法，空位法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
【例12
】五人排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B
可以
不相邻）那么不同的排法种数是（ ）
【解析】：法1（缩倍法
）
：
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同
，所以题设的排法只是5个元
素全排列数的一半，即
1
5
A
5
60
种；
2
法2（插空法
）
：先排好A、B，再把C、D、E
逐一插空，即3×4×5=60种
3
法3（空位法
）
：5个位置C、D、E
先排好，空两个位置AB来放：
A
5
60
【类题演练】
1、书架上有3本不同的书，使这些书的顺序不变，再放上2本不同的书，有 种放法
（答案20）；
2、百米决赛有6名运动员，每个运动员速度都不同，则A比F先到终点共有____
_种情况（答案360）；
3、学号为1，2，3，4的四名学生的成绩
x
i
{89,90,91,92,93}(
i
1,2,3,4)
且满足x
1
x
2
x
3
x
4
，
则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种
（答案15）；
4、设集合
A
1,2,3,4,5,6,7,8
，对任意
xA
，有
f(1)f(2)f(3)
，则映射<
br>f:AA
的个数
35
是_____
（答案
C
8
；
8
）
5、如果一个三位正整数形如“
a
1
a
2
a
3
”满足
a
1
a
2
且a
3
a
2
，则称这样的三位数为凸数（如120、<
br>363、374等），那么所有凸数个数为_____
（答案240）；
6、离心率等于
log
p
q
(其中
1
p9,1q9
且
p,qN
)的不同形状的的双曲线的个数为_____
*
（答案26）。
策略九：标号排位问题（不配对问题）分步法
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，
依次即可完成.
【例13】同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，
则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
- 5 -
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（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，则乙无论取a、c、d
丙、丁的取法都是唯一的。根据乘法原理，一共有3×3×1×1=9种分配方式。 故选（B）
【类题演练】
1、五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )
（A）60种
B）
2、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1
、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个
的编号与座位号一致的坐法是（ ）
（答案B）
（A）10种 （B） 20种 （C）30种
（D）60种
3、设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯
盖，将五个杯盖盖在五
个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 种
（答案31）
（B）44种 （C）36种 （D）24种
（答案
策略十：不同元素的分配问题先分组再排组法（
详见模型五）
将不同元素放到某些位置或分给某些人，往往先分成组，再将组排序。但因为各组元素的个数相
等与否，
一般分为：平均，不平均，部分平均分配，在用组合数选取元素时，个数平均的组与组之间
已经有序，个
数不平均的组与组之间无序，须加序。此外还有定向分配和特殊元素参与的分配。
【例14】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
种
211
C
4
C
2
C
1
【解析】：
第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;
2
A
2
211<
br>C
4
C
2
C
1
3
A36
3
2
A
2
第二步将分好的三组分配到3个乡镇，分法有
A<
br>3
3
所以满足条件得分配的方案有
【例15】
四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
【解析】：先取
四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有
C
4
种，再排：在四个盒中每次排3个
23
有
A
4
种，故共有
C
4
A
4
144
种.
3
2
【类题演练】
（
详见模型五）
1、
有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不
- 6 -
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同的选法种数是（ ）
（答案C）
（A）1260种 （B）2025种 （C）2520种
（D）5040种
2、某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不
超过2个,则该外商
不同的投资方案有（ ）种
（答案D）
（A）16种
（B）36种
（C）42种 （D）60种
策略十一：相同元素的分配问题隔板法
对于n个
相同元素分配到m个位置的问题，可看作是由（m-1）个隔板（或排序，或插空）把n
个相同元素隔成
m段。
【例16】
10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可在小球的9个空位中插入6
6
块板，如：○|○○|○|○○|○○|○|。每种插法对应一种分配方案，故共有不同的分
配方案为
C
9
84
种.
【例17】
4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个
中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
【解析】：
1、先从4个盒子中选三个放置小球有
C
4
种方法。
2、注意到小球都是相
同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相
同的白球、5个相同的黑
球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有
C
3
、2
3
C
4
2
、
C
5
2
种方法
。 3、由分步计数原理可得
C
4
3
C
3
2
C
4
2
C
5
2
=720种
【类题演练】
3
1、7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问盒子可以空放法有 种
（答案
C
10
）
2、马路上有9盏路灯，为节约用电，把其中的三盏关掉，
但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两
3
端的路灯，满足条件的关灯办法有
种。
（答案
C
5
）
3、把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影
票全部分给4个人，每人至少分1张，至多
分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是
_____ （答案144）
4、把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号
- 7 -
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数，则有多少种不同的放法？
（答案
C
16
120
种）
2
策略十二：“至多”“至少”问题间接法（淘汰法）……正难则反思想
对有限制条件的问题，尤其是“至多”“至少”问题，直接法较难则从总体考虑，再把不符合条件
的所有情况去掉。
【例18】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，至少要甲、乙各一台，则不同的取法有多少种？
333
333
【解析】不分条件有
C
9
种，全是甲
C
4
种，全是乙
C
5
种，共有
C
9
C<
br>4
C
5
70
种
【类题演练】
1、在平面直角
坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以
确定三角
形的个数为_____
（答案15）。
策略十三：综合问题先选后排法
有很多排列问题，都是排序前要选元素，按步骤现选后排，比如【例8】、【例14】、【例15】等
【例19】从0-9中选出奇数、偶数各两个，组成不重复的四位数，这样的四位偶数有多少个？
22
【解析】
法1：第一步：任选两个奇数两个偶数
C
5
C
5
；
第二步：排成四位偶数
C
5
C
5
A
4
；
224
22412
第三步：除去0在首位的偶数
C
5
C
5<
br>A
4
C
4
A
5
（间接法）
123112
法2：第一类：选0，依然选数再排，注意元素优先
C
4C
5
A
3
C
4
C
2
A
5<
br>
223
22
C
4
C
5
C
2
A
3
第二类：不选0选数
C
4
，再排数
C4
C
5
C
2
A
3
，故
C
4<
br>C
5
A
3
C
4
C
2
A
5
C
5
，
【类题演练】
1、某种产品有4只次品和6只
正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次
品全测出为止，则最后一只次品恰
好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____ （答案576）。
策略十四：转化与化归法
转化与化归思想是高中四大数学思想之一。很多排列组合问题只按题
目表面意思求解，很困难，
如果用化归的思想，换个角度来思考，（一般转化为基本模型问题），往往能
收到“山穷水尽疑无路，
柳暗花明又一村”的效果。
【例20 】（2005浙江）设平面坐
标内有一个质点从原点出发，沿
x
轴跳动，每次向正方向或负方向跳
一个单位，经过5
次跳动质点落在点
(3,0)
（允许重复过此点）处，则质点不同的远动方法共有_____<
br>
- 8 -
重庆市万州二中 孙宇
专题复习——排列、组合的应用
种（用数字作答）．
【解析】不要局限于坐标轴上位置的
概念，而应从运动方向上来分析。经过五步后向右运动了3个单位
长度，必定是向右4步向左1步，将4
右1左排顺序，如：“右右右左右”。即5种方法．
【例21 】小明家住二层，他每次回家上楼梯时
都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16
级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的
走法？
【解析】 ：共16级台阶为偶数，故走3级台阶的次数也该为偶数。
第一类：有
0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
第二类：有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
2
法1：看做5个2和2个3排序，如“2232232”，有
C
7
21
。
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2
法2：看做7个相同
小球的分配问题，先各放2个小球共14，剩下2个球各选个盒子放，有
C
7
21<
br>。
2
第三类：有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，方法同上，有
C6
15
。 故总共有：37种。
【
特别提醒
】
后面“第二部分-排列组合的常见模型”的练习均可看作是转化与化归策略。
【类题演练】
1、25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,选法有多少种？（答案600）
2、城市街区由12个的矩形组成，其中实线表示马路，则从A走到B
的最短路径有多少种？ （答案35）
3、欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同
的走法共有( )
（答案C）
（A）34种
（B）55种 （C）89种
（D）144种
A
B
第二部分——排列组合的常见模型
模型一：排序问题
【例1】（1）7个不同小球排成一排，有多少种排法？
（不同元素排序）
（2）4个相同小球和另外3个不同小球排成一排，有多少排法？（部分相同部分不同元素排序）
- 9 -
重庆市万州二中 孙宇
专题复习——排列、组合的应用
（3）4个相同黑球和3个相同白球排成一排，有多少种排法？（多组相同元素排序）
73<
br>【解析】（1）
A
7
,但不同元素排序往往有限制（参看模型二、模型三、）；
（2）法一：先排不同元素
A
7
，
7
A
7
7
A
7
3
法二：缩倍法
4
；
（3）先排一组相同元素
C
7
，法二：缩倍法
43
A
4
A
4
A
3
【类题演练】
1、3人坐在一排8个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有 种
（答案：24）；
4
2、连续发射8发子弹4发命中，有 种命中方式。
（ 答案：
C
8
）
模型二：站队问题
【例2】 5个男生4个女生站成一排照相，问满足下列要求的排队种数：
（1）任意站成一排 ；（2）平均站成三排； （3）站成一排，甲站中间
；（4）站成一排，甲不站中间
（5）甲和乙不站两端 ； （6）甲不站头乙不站尾 ；
（7）甲和乙站一起 ；（8）甲和乙中间有两人
（9）男生站一起，女生站一起 ；
（10）甲和乙不站一起 ； （11）甲乙相邻，乙丙不相邻；
（12）男女相间
；（13）男生按高矮顺序从左到右站
9988
189
【解析】（1）全排
A
9
；（2）多排看成单排
A
9
；（3）优先法
A
8
；（4）元素优先法
C
8
A
8
；间接法
A
9
A
8
8
27
（5）元素(位置)优先法<
br>A
7
（甲站尾）+
C
7
C
7
A
7<
br>（甲不站头尾）；（7）相邻问题
A
7
;（6）元素优先法
A
8
2872
捆绑法
A
2
（10）不相邻问题插空法
A
7
A
8
;（8）小团体也捆绑法
A
2
A
7
A
6
;（9）捆绑
A
4
A
5
A
2
；
A
8
；
27195
4
45
（11）先捆绑后
插空
A
2
A
7
C
7
；（12）
A
4
（13）定序按无序算：缩倍法
A
9
A
5
或先排有序元
素
A
9
A
5
；
226452
117【特别提醒
】1、站队的常见限制：“在与不在”；“邻与不邻”；“序与不序”。
2、
（5）用间接法时不能只排除甲乙都站在两端的情况，还要除掉有一个站两
端的情况，同样（6）用间接
法时也不能只排除甲站头乙站尾的情况。
【类题演练】
1、(2010重庆理科9)某单位
安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，
若7位员工中的甲、乙排在相邻
两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案
共有（ ）
（答案C）
- 10 -
重庆市万州二中 孙宇
专题复习——排列、组合的应用
（A） 504种 （B） 960种 （C）
1008种 （D） 1108种
2、（2010北京卷理科4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（
）
82828282
（A）
A
8
A
9
（B）
A
8
C
9
（C）
A
8
A
7
（D）
A
8
C
7
（答案A）
3、（2010山东卷理科8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四
位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
（A）36种 （B）42种 (C)48种 （D）54种
（答案B）
4、(2008安徽卷)12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8
人中抽2人调整到
前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
（答案C）
（A）
C
8
2
A
3
2
（B）
C
8
2
A
6
6
（C）
C
8
2
A
6
2
（D）
C
8
2
A
5
2
5、（2
009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且
只有两
位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
（答案B）
（A） 360 （B）288 （C） 216
（D）96
模型三：排数问题
【例3】
从0、2、3、5、6、7的6个数中选择不重复的数字
（1）能组成多少四位数 ？
（2）能组成多少小于1000的数？ （3）能组成多少四位偶数？
（4）能组成多少被5整除的四位数？被25整除的四位数？
（5）能组成多少被3整除的四位数？
（6）四位数从小到大排列，5307是第几项？
（7）所有四位数的和是多少？
151112
【解析】（1）位置优先
C
5
A
5
；
（2）6(一位数)+
C
5
C
5
(两位数)+
C
5
A
5
(三位数)；
332
1211
（3）从个位开始A
5
(选0)+
C
2
C
4
A
4
(选2、6)； （4）
A
5
(个位0)+
C
4
(50);
A
4
(个位5)
;
C
3
C
3
(25)+
A
4
21411
3
13
（5）要由被3整除、余一、余二的三组数组合
C
3
C
2
A
4
C
2
C
2
A
3
;
（6）从高位开始分析
C
2
A
5
（千
312
12<
br>位）+
C
2
； （7）（2+3+5+6+7）
A
5
1000
+（2+3+5+6+7）
C
4
A
4
(10
0101)
A
4
（百位）+3（个位）
112
【特别提醒
】1、排数问题常用优先法，尤其注意0与首位的特殊关系。
2、如果数字可以重复呢？
【类题演练】
1、（2010四川理）由1、2、3、
4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数
- 11 -
重庆市万州二中 孙宇
专题复习——排列、组合的应用
是
（A）72 （B）96
（C） 108 （D）144 （答
案C）
2、(2009浙江卷)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数
字的奇偶性不同，
且1和2相邻．这样的六位数的个数是 (用数字作答)．
（答案
A
2
2
·2A
2
2
·C
5
1
＝40
）
模型四：抽取问题
【例4】 5个不同白球和4个不同红球，从中摸3个球
（1）有多少摸法 ？ （2）恰有一个白球的摸法？
（3）至少一个白球的摸法？
（4）至多2个白球的摸法 ？
（5）某白球被抽到，某红球不被抽到的摸法？
33
33
12121
【解析】（1）组合
C
9
；
（2）分步
C
5
+
C
5
；间接法：
C
9<
br>C
4
C
4
； （3）直接法：
C
5
C
4
+
C
5
2
C
4
33
32
121
（4）直接法：
C
4
+
C
5
；间接法：
C
9
C
5
；
（5）
C
7
C
4
+
C
5
2C
4
【特别提醒】
1、至多、至少问题注意对直接法、间接法合理选择。
12
2、“至少n个”问题切忌这样分步：先满足n,再任意选取。如(3)不能
C<
br>5
C
8
。
【类题演练】
1
、（2010全国卷I理科6）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若
要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
（答案A）
(A) 30种 (B)35种
(C)42种 (D)48种
2、(2009全国卷Ⅱ)甲、乙两人从4门课程中各
选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同
的选法共有( )
（答案C）
(A)6种 (B)12种
(C)30种 (D)36种
模型五：不同元素的分组、分配问题
【例5】
有6本不同的书按下列方式，共有多少种不同的情况？
（1）分成每组都是2本的三个组；
（2）分给三人，每个人2本；
（3）分成1本、2本、3本三组；
（4）分给三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
- 12 -
重庆市万州二中 孙宇
专题复习——排列、组合的应用
（5）分成4本、1本、1本三组；
（6）分给三人，其中一人4本，其余各一本；
（7）分给4人每人至少1本。
（8）选出5本分给3人，每人至少1本；
（9）分给甲1本，乙2本，丙3本 ；
（10）分给甲4本，乙1本，丙1本 ；
（11）平均分给2人，理、化
两本书给了同一人；（12）平均分给2人，理、化 两本书分别给了两
人
22
C<
br>6
2
C
4
C
2
222123
【解析】：（1
）平均分组 ；（2）平均分配
C
6
C
4
C
2
；
（3）不平均分组
C
6
C
5
C
3
；（4）不平3
A
3
411
11
C
6
4
C
2
C
1
3
C
6
C
2
C
1
均分配
CCCA
；（5）部分平均分组；（6）部分平均分配（7）3+1+1+1或2+2+
1+1
A
3
；
2
2
A
2
A
2<
br>1
6
2
5
3
3
3
3
32
1
C
6
C
3
C
2
C
1
4
C
6
C
4
C
2
C
1
4
C
6
C
3
C
2
3
C
6
C
4
C
2
3
123
C
5
C
3
;;（8）先选后
分配
AAAA
3
;（9）定向分配
C
6
443
32222
A
3
A
2
A
2
A
2
A
2
（10）定向分配
C
6
C
2
C
1
；（11）特殊元素不平均
C
2
C
4
C
3
A2
；（12）特殊元素平均
C
2
C
4
C
1C
2
【特别提醒】
1、分清组合数乘积是否有序，再由“分配有序，分
组无序”加序或消序。
51
2、处理“至少一本”切忌先各放一本，然后再任意放。
如（7）不能做成
A
6
C
5
41121321212
【类题演练】
1、
有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不
同的选法种数是（ ）
（答案
C
）
（A）1260种 （B）2025种
（C）2520种 （D）5040种
2、将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（
）
（A）30种 （B）90种 （C）180种
（D）270种 （答
案B）
3、（2010江西卷理科14）将
6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博
会的四个不同场馆服务，不同的分
配方案有 种(用数字作答). （答案1080）
4、 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外
商
不同的投资方案有（ ）种
（答案D）
（A）16种 （B）36种
（C）42种 （D）60种
- 13 -