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排列组合、二项式定理的常见题型及其解法

排列组合
排 列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元
素的顺序有关.复杂 的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排
列、组合问题的类型与解法对学 好这部分知识很重要.
(一)特殊元素（位置）用优先法
把有限制条件的元素（位 置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素
（位置）优先安排的方法.
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？



(二)相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素必须排在一起的 问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个
整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻 元素内部再进行排列.
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？



(三)相离问题用插空法
元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素 排好，然后再将不相邻的元素插入已排
好的元素位置之间和两端的空中.
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？



(四)定序问题用除法
对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法 是：先将n个元素进行全排
nm
列有
A
n
种，
m(mn)
个元素的全排列有
A
m
种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其
中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次
n
A
n
序一定，则有
m
种排列方法.
A
m
例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数
字的六位 数有多少个？



(五)分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方
法求解.
例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少
种？


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(六)复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的 排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先
求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条 件的方法种数.在应用此法时要注意做到不重
不漏.
例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共
有（ ）
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种



(七)多元问题用分类法
按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计
算总数.
例7. 已知直线
axbyc0
中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1 ，0，1，2，3}中
的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数.



(八)排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列.
例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有
多少种？



(九)隔板模型法
常用于解决整数分解型排列、组合的问题.
例9. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分
配方案？



二项式定理

二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法 灵活且比较难掌握.二项式定理既是排
列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分 布有着密切联系.二项式定
理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大 题出现.本文将
针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用 .
(一)求二项展开式
1．“
(ab)
n
”型的展开式
1
4
)
的展开式； 例1．求
(3x
x




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2． “
(ab)
n
”型的展开式
1
4
例2．求
(3x)
的展开式；
x




3．二项式展开式的“逆用”
例3．计算
13< br>C
n
9
C
n
27
C
n
... .(1)
n
3
n
c
n
；




(二)通项公式的应用
1．确定二项式中的有关元素
9ax
9
例4．已知
()
的展开式中
x
3
的系 数为，常数
a
的值为
4
x2




2．确定二项展开式的常数项
1
例5．
(x
3
)
10
展开式中的常数项是
x




3．求单一二项式指定幂的系数
1< br>例6．（03全国）
(x
2
)
9
展开式中x
9的系数是 ；
2x




(三)求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数
例7．
(x1)(x 1)
2
(x1)
3
(x1)
4
(x1)5
的展开式中，
x
2
的系数等于




例8．（02全国）
（x
2
1)(x2)
7
的展开式中，
x
3
项的系数是 ；






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(四)利用二项式定理的性质解题
1.求中间项
1
例9．求（
x
3
)
10
的展开式的中间项；
x



2.求有理项
1
例10．求
( x
3
)
10
的展开式中有理项共有 项；
x



3.求系数最大或最小项
（1）特殊的系数最大或最小问题
例11．（00上海）在二项式
(x1)
11
的展开式中，系数最小的项的系数是 ；




（2）一般的系数最大或最小问题
1
例12．求
(x
4
)
8
展开式中系数最大的项；
2x





（3）系数绝对值最大的项
例13．在（
xy)
7
的展开式中，系数绝对值最大项是 ；




(五)利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 例14．若
(2x3)
4
a
0
a
1
x a
2
x
2
a
3
x
3
a
4x
4
，则
(a
0
a
2
a
4
)
2
(a
1
a
3
)
2
的值为；




例15．设
(2x1)
6
 a
6
x
6
a
5
x
5
...a
1
xa
0
，则
a
0
a
1
a
2
...a
6

；




(六)利用二项式定理证明整除问题
例16．求证：
51
51
1
能被7整除.

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