对比图-采购供应商管理制度

竞赛讲座19
-排列、组合、二项式定理
基础知识
1．排列组合题的求解策略
（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件 的所有情况排除，这
是解决排列组合题的常用策略．
（2）分类与分步
有些问题的 处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的
并集是全集；有些问题的处理 分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，
这是乘法原理．
（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．
（4）插空 ：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没
有限制条件的元素，然后将有 限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．
（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“ 大元素”，然后与其它“普通元素”
全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．
（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如
将1 2个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分
成4堆，分别装 入4个不同的盒子中的方法数应为
C
11
，这也就是方程
abcd1 2
的
正整数解的个数．
2．圆排列
（1）由
A{a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
}
的
n
个元素中，每次取出
r
个元素排在一个圆环上，叫
做一个圆排列（或叫环状排 列）．
（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（i ii）
两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列． < br>（3）定理：在
A{a
1
,a
2
,a
3
, ,a
n
}
的
n
个元素中，每次取出
r
个不同的元 素进行圆
3
P
n
r
排列，圆排列数为．
r
3．可重排列
允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．
在
m
个不同的元素中，每次取出
n
个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么< br>第一、第二、…、第
n
位是的选取元素的方法都是
m
种，所以从
m
个不同的元素中，每次
取出
n
个元素的可重复的排列数为
m．
4．不尽相异元素的全排列
如果
n
个元素中，有
p
1
个元素相同，又有
p
2
个元素相同，…，又有
p
s个元素相同
（
p
1
p
2
p
s
n
），这
n
个元素全部取的排列叫做不尽相异的
n
个元素的全排列 ，
它的排列数是
n
n!

p
1
!p
2< br>!p
s
!

5．可重组合
（1）从
n< br>个元素，每次取出
p
个元素，允许所取的元素重复出现
1,2,,p
次的组合叫
从
n
个元素取出
p
个有重复的组合．
r
（2）定理：从
n
个元素每次取出
p
个元素有重复的组合数为：
H
n
p
C
n(p1)
．
6．二项式定理
（ 1）二项式定理
(ab)
n

C
k0
n
k< br>n
a
nk
b
k
（
nN
*
）．
（2）二项开展式共有
n1
项．
rnrr
（3）
T< br>r1
C
n
ab
（
0rn
）叫做二项开展式的 通项，这是开展式的第
r1
项．
（4）二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等．
（5）如果二项式的幂指数< br>n
是偶数，则中间一项的二项式系数
C
最大；如果
n
是奇数，则中间两项的二项式系数
C
n1
2
n
n
2
n
与
C
n1
2
n
最大．
（6）二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即
024135
C
n
C
n
C
n
C
n
Cn
C
n


7．数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法
二项式定理，由于结构复杂，多年来 在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数学竞
赛的命题者却对其情有独钟．
（1）利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；
（2）处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合；
（3）求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩；
（4）综合其他知识解 决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其
实通过观察、分析题目的特征，联想构造 合适的二项式模型，便可使问题迅速解决．
例题分析
例1．数1447,1005,123 1有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位
数中恰有两个数字相同，这样的四位数共 有多少个？
例2．有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？
例3．有
2n< br>个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对
方式？
例4． 将
n1
个不同的小球放入
n
个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多 少
种放法？
例5．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共2 7个点
中，共线的三点组的个数是多少个？
例6．用8个数字1,1，7,7，8,8，9,9可以组成不同的四位数有多少个？
例7． 用
A,B,C,D,E
五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，
共有多少种不同的涂色方式？
例8．某种产品有4只次品和6只正品（每只产品可区分），每次取一 只测试，直到4

只次品全部测出为止．求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形 有多少种？
例9．在平面上给出5个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？
例10。.8位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有多
少种？
例11．某城市有6条南北走向的街道，5条东西走向的街道．如果有人从城南北角（图
A点）走到东南角中
B
点最短的走法有多少种？
例12．用4个1号球，3个2号 球，2个3号球摇出一个9位的奖号，共有多少种可能
的号码？
例13．将
r
个相同的小球，放入
n
个不同的盒子（
rn
）．
（1）有多少种不同的放法？
（2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？
例1 4．8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩．（只要把
圆旋转一下就重合 的排列认为是相同的）
例15．设
n1990
，求
*
1
24619881990

(13C
n
3
2
C
n
3
3
C
n
3
994
C
n
3
995
C
n
)
的值．
n
2
7)的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结论． 例16．当
nN
时，
(3例17．已知数列
a
0
,a
1
,a
2
,a3
,
（
a
0
0
）满足：
a
i1
a
i1
2a
i
(i1,2,3,)

求证：对于任意正整数
n
，
01n1n1nn
p(x)a< br>0
C
n
(1x)
n
a
1
C
n< br>x(1x)
n1
a
n1
C
n
x(1x )a
n
C
n
x
是一次多
项式或零次多项式．
2 r1
ma
（
r,mN
*
,0a1
）例18．若
(52)
，求证：
a(ma)1
．
例19．设
x (15
例20．已知
(1
220)
19
(15220)82
的整数部分，求
x
的个数数字．
2)
100
a 2b
（
a,bN
）求
ab
的个位数字．
2n
n1
例21．试证大于
(13)
的最小整数能被
2
整除（
nN
）．
例22．求证：对任意的正整数
n
，不等式
(2n 1)(2n)(2n1)
．
例23．设
a,bR
，且
< br>nnn
11
1
．求证对于每个
nN
，都有
a b
(ab)
n
a
n
b
n
2
2n< br>2
n1

训练题
1．8次射击，命中3次，其中愉有2次连续命中的情形共有（ ）种
（A）15 （B）30 （C）48 （D）60
2．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰 比赛一场，但有3名选手各比赛了
2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3 名选手之间比赛的场
数是（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
3．若
(1xx)
21000
22000
的展开式为
a
0
a
1
xa
2xa
2000
x
，则
a
0
a
3a
6
a
9
a
1998
的值为
（A）
3
333
（B）
3
666
（C）
3
999
（D）
3
2001

4．某人从楼下到楼上要走11级楼梯，每步可走1级或2级，不同的走法有（ ）种
（A）144 （B）121 （C）64 （D）81
5．从7名男乒乓球队 员，5名女乒乓球队员中选出4名进行男女混合双打，不同的分
组方法有（ ）种
22222222
（A）
2C
7
C
5
（B）
4C
7
C
5
（C）
P
7
P
5
（D）
C
7
C
5

6．有5分、1角、5角的人民币各2枚、3张、9张，可组成的不同币值（非0）有（ ）
种
（A）79 （B）80 （C）88 （D）89
7．从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的
取法有________种
6
8． 把
(76)
写成
N1 N
的形式，为
N
自然数，则
N
＝ ．
9．已知直线 ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{3,2,1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，< br>并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______．
10．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两
顶点之一．若在5次之内跳到D点， 则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次
也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现 的不同跳法共 种．
11．如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；（2 ）ab,bc,cd,da；(3)a是a,b,c,d中的最小
值，那么，可以组成的不同的 四位数
abcd
的个数是_________．
12．在一个正六边形的六个区域种 植观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两
块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则 有 种载种方案．
13．10人围圆桌而，如果甲、乙二人中间相隔4人，有 种坐法．
14．
1991
2000
除以
10
的余数是 ．
6
2n1
15．设
(527)
的展开中，用
I记它的整数部分，
F
记它的小数部分．求证：
(IF)F
是一定值．
16．从
1,2,3,,19
中，按从小到大的顺序选取
a
1,a
2
,a
3
,a
4
四个数，使得
a
2
a
1
2
，
a
3
a
2
3
，
a
4
a
3
4
．问符合上要求的不同取法有多 少种？
17．8人围张一张圆桌，其中
A
、
B
两人不得相邻，而< br>B
、
C
两人以必须相邻的不同
围坐方式有多少种？
18．4 对夫妇去看电影，8人坐成一排．若每位女性的邻座只能丈夫或另外的女性，共

有多少种 坐法？
19．求证：
CCCn2
1
n
2
n< br>n
n
n1
2
．
n1
20．设
n2< br>，
nN
，
ab0
，
ab
．求证：
2

(a
n
b
n
)(ab)
n
．