礼尚往来-油漆工程

排列与组合——四类典型问题
一、摸球问题
1、袋中装有6只黑球，4只白球，现从中任取4只球
（1）正好2只黑球，2只白球的不同取法共多少种？90
（2）至少有3只黑球的不同取法共有多少种？95
（3）至多有1只黑球的不同取法共有多少种？25

2、从0，1，2，„，9这十个数字中任取五个不同数字
（1）正好两个奇数，三个偶数的不同取法有多少种？100
（2）至多有两个奇数的取法有多少种？126
（3）取出的数中含5但不含3的取法有多少种？70


二、排队问题
1、某排共有七个座位，安排甲乙丙三人就坐
（1）共有多少种不同就坐方法？210
（2）三人相邻（即三个座位相连）的就坐方法有多少种？30
（3）三人不相邻（任意两人中间都有空位）的就坐方法共多少种？60

2、袋中装有5只白球，6只黑球，依次取4只
（1）每次取1只（取后不放回）则共有多少种不同取法？7920
（2）每次取1只（取后放回）则共有多少种不同取法？14641
（3）每次取1只（取后不放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？3600
（4）每次取1只（取后放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？6655

3、由0,1,2,3,4,5,
（1）可组成多少个无重复数字的不同三位偶数？52
（2）可组成多少个不同的三位偶数（允许有重复数字）？90
（3）可组成多少个能被5整除的三位数（允许有重复数字）？60


三、分房问题（n个人生日问题、投信问题）
1、10个人进入8个房间，共有多少种不同的进入方法？8
10

2、从 4名候选人中，评选出1名三好学生，1名优秀干部，1名先进团员，若允许1人同时
得几个称号，则不 同的评选方案共有多少种？4
3


四、分组问题
1、分配9个人去完成甲、乙、丙三项任务
（1）甲任务需2人，乙任务需3人，丙任务需4人，则不同的选派方法共有多少种？
225
（2）甲任务需2人，乙任务需2人，丙任务需5人，则不同的选派方法共有多少种？
C
9
C
7
C
5

（3）甲、乙、丙三项任务各需3人，则不同的选派方法共有多少种？

2、将9个人以下列三种方式分为三个小组，则不同的分组方法各为多少种？
（1）将9个人以2，3，4分为三组.
5
C
9
2
C7
2
C
5
（2）将9个人以2，2，5分为三组.
2!
（3）将9个人以3，3，3分为三组.

3、将将9个人以下列三种 方式分为三个小组，去完成三项不同的任务，则不同的分组方法
各为多少种？
（1）将9个人以2，3，4分为三组.
5
C
9
2
C7
2
C
5
3!
（2）将9个人以2，2，5分为三组.
2!
（3）将9个人以3，3，3分为三组.

解题方法
一、正难则反，等价转化
在解决某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂、分类较多时，可 考虑从反面入手，
将其等价转化为一个较简单的问题来处理，即先求总的排列组合数，再减去不符合要求 的
排列组合数，从而使问题获得解决办法。
1、从0，1，2，„，9这十个数字中取出3个 数，使和为不小于10的偶数，不同的取法有
多少种？
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二、捆绑法——解决相邻问题
在解决某几个元素要求相邻排列的问题时，优先考虑相邻的这几 个元素，将其“捆绑”
看作一个整体。再在相邻元素之间排列。
2、5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法有多少种？
4320
三、插空法——解决不相邻问题
对于某几个元素要求不相邻的问题，可先 将其他元素排列好，再将不相邻的这些元素
在已经排好的元素间隙或者两端中插入。
3、7个人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是多少？
3600
四、除法消序
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排 列，
然后用总排列数除以这几个定序元素的全排列数，达到消序的目的。
4、不同的钢笔12支，分3堆，一堆6只，另外两堆各3支，有多少种分法？
9240
五、隔板法
隔板法要求：①元素要相同，②分配对象不同，③每个对象至少分一个。公式为： n个
m1m1
元素，m个对象，非空，有
C
n1
种；允许空， 有
C
nm1

5、现有10个完全相同的球，分给7个班 级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法？
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六、先整体后局部
对于“ 小团体”排列问题，可将“小团体”看做一个元素与其余元素排列，最后再进
行“小团体”内部的排列。
6、三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家
之间 恰有一名男歌唱家，出场方案共有多少种？
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