请输入内容-嬉戏的意思

E1-031
在圆内或圆上任取8个点．证明：在这8个点中，必有两个点的距离
小于圆的半径．

【题说】 1965年匈牙利数学奥林匹克题2．
【证】 在所取的8个点中至少有7个 点不和圆心重合．如果有某两个
点在同一条半径上，那么这两点的距离显然不小于圆的半径．
设不和圆心重合的7个点在7条不同的半径上．每相邻两条半径构成一
个圆心角，7个圆心角合成周角． 因此必有两点A、B使∠AOB＜60°．在
△OAB中，最大边大于边AB（因为一角大于60°）． 但是边OA和OB都不超
过圆的半径，所以AB小于圆的半径．
一个旅游者乘火车到莫斯科， 他在街上逛了一整天，在广场上一个小
吃店里吃了晚饭后，决定回火车站．证明：他一定可以沿着来时走 过奇数次的
街道回火车站．
【题说】 1965年全俄数学奥林匹克十年级题3．
【证】 将交叉口当作点，交叉口之间的街道当作边，除车站与广场
外，每一个点都是偶顶点 ，即引出偶数条边（走过k次的边算作k条）．
旅游者沿原路退回．在每一点处面临奇数条边，其中必 有一条边他来时
只走过奇数次，沿这条边前进．这样继续下去，由于边数有限，必在某一点停
止 ，这点就是火车站．
E1-033

E1-032

在无限大的方格纸上，有n个方格涂成黑色．证明：一定可以剪掉有
限个正方形，满足以下两个条件：
1．所有的黑色方格全部在被剪掉的正方形之中．
2．在任何一个被剪掉的正方形中，黑色方格的面积不小于这个正方

【题说】 第五届（1971年）全苏数学奥林匹克九年级题8．

【证】 从平面上剪掉一个2×2的正方形k
0
，它含有所有黑色方格和
至少比它多4倍的白色 方格．于是，所有黑方格的面积小于正方


则将它再剪成四个正方形k
2
，等等，直到得到一些2×2的正方形，将所
有不含黑色方格的正方形去掉，则剩下的正方形满 足题给要求．
1．假定一个4×7方格的棋盘，如图a所示，各个方格着色为黑或
白．求证 ：对任何一种着色方式，在棋盘中必定包含一个由棋盘上横线和纵线
所构成的矩形，它的四角上的方格同 色．
2．给出一个4×6方格的棋盘上的一种黑白着色，使得在棋盘内每一个如
上所说的矩形 中，四角上的方格都不是同色的．
【题说】 第五届（1976年）美国数学奥林匹克题1．题中所 说“矩
形”，应理解成由平行于棋盘中横线与纵线的线段为四边的矩形，其顶点不与
格点重合．
【证】 1．可以证明更强的结论：在3×7的棋盘内，存在四角同色的
矩形．
第 一行的7个方格中至少有四个同色．不妨设前4个方格均为白色．第二
行（或第三行）的前4个方格中如 果有两个白格，那么结论已经成立．如果第
二行、第三行的前4个方格中均只有1个白格，那么去掉白格 所在的列便得到
四角同为黑色的矩形．
2．图b即为所求．
E1-034

nn

线段AB的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色．在线段中
间 插入n个分点，在各个分点上随意地标上红色或蓝色，这样就把原线段分为
n+1个不重叠的小线段．这 些小线段的两端颜色不同者叫做标准线段．证明：
标准线段的个数都是奇数．
【题说】 1979年安徽省赛二试题2．
【证】 从A到B，经过n个分点，颜色改变奇数次，每改变1次颜
色，即有1条标准线段，因此标准线段的条数为奇数．
E1-035

E1-036
一棱柱以五边形A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
与B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
为上、下底，这两个多
边形的每一条边及每一条线段A
i
B
j
（i，j=1，2，3，4，5）分别 涂上红色或绿
色．若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂色的线段为边的三角形均有两条边
颜色 不同．证明上、下底10条边颜色一定相同．
【题说】 第二十一届（1979年）国际数学奥林匹克题2．本题由保加
利亚提供．
【证】 首先我们证明上底的五条边颜色完全相同．
如果上底的五条边颜色不完全相同，那么必有两条相邻的边 颜色不同，不
妨设A
1
A
2
是绿的，A
1
A
5
是红的．
自A
1
引出五条线段A
1
B
1、A
1
B
2
、A
1
A
3
、A
1
A
4
、A
1
A
5
中，至少有三条有相同
的颜色，这三条线段的端点B
j
中必有两个相邻，不妨设A
1
B
1< br>，A
1
B
2
均为绿色，
那么B
1
B
2
必为红色，但△B
1
A
1
A
2
推出A
2
B
1
为红色，由△B
2
A
1
A
2
推出A
2
B
2
也为红
色，这时得△A
2
B
1
B
2
的三条边都是红色的，与已知条件矛盾．这就证明了上底
的五条边的颜 色必相同．
同理可证下底的五条边的颜色也相同．
现在来证明，上、下底的颜色必须是同样的．
若不然，上、下底的颜色不同，不妨设上底的五条边全是绿色，下底的五
条边全为红色． 前述中设AB、AB颜色相同，由于BB是红色的，AB、AB都必须是
绿色的．与前面的证明完全 一样，△B1A1A2、△B2A1A2、△ABB中必有一个
三条边是同一颜色的三角形．而与已知条 件矛盾．
所以，上、下底10条边颜色一定相同．
试证在2n×2n（n∈N）个相等 小方格组成的棋盘上任意挖去一个小方
格后，总可以由三个小方格构成的L形块恰好铺满（既不重叠，也 不越界）．
E1-037

212
111212112

【题说】 1981年上海市赛二试题2．
【证】 用数学归纳法，（1）当n=1时（图a），命题显然真．（2）
设当n=k时（图b），命题真，则当 n=k+1时，把挖去一个小方格的
2k+1×2k+1棋盘ABCD四等分得四个2k×2k棋盘AE OH、EBFO、OFCG、GDHO，其
中必有一个是挖去一个小方格的棋盘，设为GDHO．现将一 个L形块放在O处
（图c），使它在AEOH、EBFO、OFCG各占一格，则这四个2k×2k的棋 盘都成
了挖去一个小方格的棋盘了，根据归纳假设它们都能被L形块恰好铺满．
由（1）、（2）得，对一切自然数n命题真．

E1-038
在3×4cm的长方形中，放置6个点．试证：可以找到两

【题说】 第十五届（1981年）全苏数学奥林匹克十年级题6．

【证】 先把长方形分成5个区域（如图），根据抽屉原理，必有

E1-039
已知平面上两个不同的点O和A，对于平面上不同于O的每一点X，由
OA按逆时针方向到OX的角的弧度数用a（X）表示（0≤a（X）＜2π），设C
（X）是以O为 圆心，以OX+a（X）／OX的长为半径的圆．平面的每一个点用
有限多的颜色之一来着色，证明存在 一个点Y，a（Y）＞0．它的颜色出现在圆
C（Y）的圆周上．
【题说】 第二十五届（1984年）国际数学奥林匹克题3．
【证】 以O为心，半径小于1的圆有无限多个 ，而圆上所染颜色的种
数（n种颜色的子集）至多为2-1，所以必有两个圆的颜色的种数相同，设它< br>们的半径为r、s，r＜s＜1．
显然r（s-r）∈（0，2π）．⊙（O，r）上以r（s -r）为幅角的点Y，它
的颜色出现在⊙（O，s）上．而
n

所以⊙（O，S）即圆C（Y），命题成立．
E1-040 已知空间有1987个点．证明：可以经过其中某点作一个平
面，使得其两侧各有993个点．
【题说】 第十三届（1987年）全俄数学奥林匹克十年级题4．
【证】 过每两个已知点作一条直线．
我们证明存在一个平面，不平行于这有限多条直线中的任何一条．事实< br>上，任取一点O，过O作直线分别与上述直线平行，再过O作一条直线OA与它
们均不相同，则在 过OA的平面中，只有有限多个含有其它所作的直线．因此
有一个过OA的平面α不含其它所作的直线， 即不平行于上述直线中的任何一
条．
过已知的1987个点，分别作平面α的平行平面．由平 面α的上述性质，
所作的平面都仅含一个已知点．顺次数过去，这1987个平行平面中，第994个平面即为所求．