华东革命烈士陵园-班级管理方案

排列组合

知识结构

一、排列问题
在实际生 活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，
就是排列问题 ．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．
一般地，从
n
个不同的元素中取出
m
(
mn
)个元素，按照一定的顺序排成 一列，叫做从
n
个不同元
素中取出
m
个元素的一个排列．
根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如
果两 个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排
列顺 序不同，它们也是不同的排列．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从
n
个不同的元素中取出
m
(
mn
)个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同的元素的排列中取出
m
个元素的排列数，我们把它记做
P
n
m
．
根据排列的定义，做一个
m
元素的排列由
m
个步骤完成：
步骤
1
：从
n
个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有
n
种方法；
步骤
2
：从剩下的(
n1
)个元素中任取一个元素排 在第二位，有(
n1
)种方法；
„„
（m1）nm1
(种)步骤
m
：从剩下的
[n(m1)]
个元素中任取一个元素排在第< br>m
个位置，有
n
方法；
n1）（n2）（nm 1）
由乘法原理，从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数是
n（
，即
P
n
m
（nn1）（.n2）（nm1）< br>，这里，
mn
，且等号右边从
n
开始，后面每个因数比前一个因数小
1
，
共有
m
个因数相乘．

二、排列数
n1）（n2）321
． 一般地，对于
mn
的情况， 排列数公式变为
P
n
n
n（
表示从
n
个不同元素 中取
n
个元素排成一列所构成排列的排列数．这种
n
个排列全部取出的排列， 叫
做
n
个不同元素的全排列．式子右边是从
n
开始，后面每一个因数 比前一个因数小
1
，一直乘到
1
的乘积，
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n1）（n2）321　
记为
n!
，读做
n
的阶乘，则
P
n
n
还可以写为：
P
n
n
 n!
，其中
n!n（
．
在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须 相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将
这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．
三、组合问题
日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全 班同学中选出几人参
加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将 着重研究有多少种分
组方法的问题．
一般地，从
n
个不同元素中取出
m
个(
mn
)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从
n
个不
同元素中取出
m
个元素的一个组合．
从排列和组合的定义可以 知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素
完全相同，那么不管元素的顺 序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不
同的组合．
从n
个不同元素中取出
m
个元素(
mn
)的所有组合的个数，叫 做从
n
个不同元素中取出
m
个不同元
m
素的组合数．记作< br>C
n
．
一般地，求从
n
个不同元素中取出的
m个元素的排列数
P
n
m
可分成以下两步：
m
第一步： 从
n
个不同元素中取出
m
个元素组成一组，共有
C
n
种方法；
m
第二步：将每一个组合中的
m
个元素进行全排列，共有
P
m
种排法．
mmm
根据乘法原理，得到
P
n
C
n
P
m
．
m
因此，组合数
C
n

P
nm
m
P
m

n（n1）（n2)

（nm1）
．
m（m1）（m2）

321
这个公式就是组合数公式．

四、组合数的重要性质
mnm
一般地，组合数有下面的重要性质：C
n
(
mn
)
C
n
mnm
这 个公式的直观意义是：
C
n
表示从
n
个元素中取出
m
个元素组成一组的所有分组方法．
C
n
表示从
n
个元素中取出(< br>nm
)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从
n
个元素中选出
m
个元素的分组方法
恰是从
n
个元素中选
m
个元素剩下的(< br>nm
)个元素的分组方法．
32
例如，从
5
人中选
3
人开会的方法和从
5
人中选出
2
人不去开会的方法是一样多的， 即
C
5
．
C
5
n0
规定
C
n
1
，
C
n
1
．
五、插板法
一般用来 解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①
所要分解的物体一般是 相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1
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个物体，不能有没分到物体的组出现．
在有些题目中，已知条件与上面的三个 要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变
形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法 ．
六、
使用插板法一般有如下三种类型：
⑴
m
个人分
n
个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的
m 1
(n1)
个空隙中放上
(m1)
个插板，所以分法的数目为
C
n1
．
⑵
m
个人分
n
个东西，要求每个人至 少有
a
个．这个时候，我们先发给每个人
(a1)
个，还剩下
[n m(a1)]
个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为
m1
C
nm(a1)1
．
⑶
m
个人分< br>n
个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来
m
个东西，每个人多 发1个，这样
m1
就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了
(nm)
个
，因此分法的数目为
C
nm1
．

例题精讲

【例 1】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧 挨着排在正中间
有多少种不同的排法？





【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？





【例 2】 将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操 场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有多
少种不同的排列方法？





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【巩固】 6名小 朋友
A、B、C、D、E、F
站成一排，若
A，B
两人必须相邻，一共有多少 种不同的站法？
若
A、B
两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？





【例 3】 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话 书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果
同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求 童话书和漫画书不要分开有多少种排
法？





【巩固】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问 ：
如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？





【例 4】 8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？





【巩固】 a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？









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【例 5】 一台晚会上有
6
个演唱节目和
4
个舞蹈节目．求：
⑴当
4
个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？
⑵当要求 每
2
个舞蹈节目之间至少安排
1
个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的 顺序？





【巩固】 由
4
个不 同的独唱节目和
3
个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开
始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？





【例 6】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？





【巩固】 小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？





【巩固】 有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．





【例 7】 10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？




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【巩固】 将
13< br>个相同的苹果放到
3
个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。





【例 8】 把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？





【巩固】 三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3 个节目，那么这三所学校
演出节目数的不同情况共有多少种？





【例 9】 (1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?
(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?





【巩固】 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？





【例 10】 马路上有编号为
1
，
2
，
3，…，
10
的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只
灯关掉，但 又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯
方法有多少种？



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【巩固】 学校新修建的一条 道路上有
12
盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中
2
盏
灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的
2
盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？





【例 11】 在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？





【巩固】 大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？





【例 12】 所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？





【巩固】 从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？










课堂检测
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【随练1】 某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有
4< br>人，全组同学站成一排，要求女
少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少 种？





【随练2】 把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法？





【随练3】 在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？





家庭作业

【作业1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。





【作业2】 学校合唱团要从
6
个班中补 充
8
名同学，每个班至少
1
名，共有多少种抽调方法？




【作业3】 能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。




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【作业4】 学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：
（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？
（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？





【作业5】 由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．





【作业6】 停车站划出一排
12
个停车位置，今有
8
辆不同的车需要停放，若要求剩余的
4
个空车位连在一
起，一共有 多少种不同的停车方案?















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