狂暴之心-书信

趣味数学故事之彻底解决“四色问题”
趣味数学故事之彻底解决“四色问题”
地图“四色问题”（又称“四色猜想”）最早由英国大学生
法兰西斯·古特里（Francis Guthrie）于1852年在绘制地
图时发现，他却找不出科学肯定的证明就去请教他在伦敦大学读书的哥哥费特里克·古特里（Frederick Guthrie）。兄
弟俩搞了好些日子还 是证明不了，就由哥哥去向伦敦大学的
老师、当时非常著名的数学家奥古斯都·德·摩根
（Au gustus de morgan）请教，摩根教授当时也证明不了，
就至函他在三一学院的好友—— 著名数学家威廉·哈密尔
顿（William Rowan Hamilton），希望他能帮助证明。 可哈
密尔顿对这个问题研究了十三年，到死也没能给出证明。自
从1879年至今全世界不断有 人提出证明了“四色问题”，
可是都叫人难以信服，不断又被别人否定，至今这个“四色
问题” 仍与“哥德巴赫猜想”及“费马最后定律”一起被
全世界公认为数学史上最著名的三大难题。
本人2019年夏天刚接触到“拓扑学”，试着用“拓扑学”
的方法去分析“四色问题”，只化半小时左 右时间就证明了
“四色问题”。我写的《关于“四色问题”的证明》（以下
简称《证明》，可在 电脑中文搜索栏打入“四色问题”或作
者姓名“焦永溢”查看）2019年底在许多数学网站上刊登出< br>来后，看了的人很多认为非常正确；但也有一部分不明白的
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人认为证明了“相互间有连线的点不多于四个”并不是证
明了“四色问题”，他们认为四点相互间有连线 只是平面图
上的局部现象，不能代表整个平面图，还提出比如中间一个
点周围五个点的图形并没 有四个点之间相互有连线却也要
四种颜色。可我在这里要再强调一下：《证明》中三个定理
概括 讲就是“三点必闭，四点必围，五点必断”，并没有说
一定要四点相互间有连线才需四色，证明“四色问 题”关键
在于“五色必断”。《证明》中分析了第五点E落在封闭图
形ABC以内及以外的情况 ，也提到了第五点若落在连线上必
定会隔断这条连线，只是没有把隔断的情况用图画出来，其
实 一画出来也是与另两种情况一样：三点包围一点，另一点
又被小的封闭图形所包围。下面我再从第五点开 始，接着第
六点、第七点、第八点……直到无穷多点的情况下证明“四
色永远足够”。
为了使分析的图形更直观明了，可以换一个角度来看四点相
互间有连线的图形：把封闭图形放在球面上 ，各点间距离均
匀，拉直各条连线，图形就成了一个正三棱锥。图1就是把
ABC面当底，D点 当顶点从上向下的俯视图，若把三棱锥翻
一个面，比如将B点当顶点，ACD面就成了底面，所以外面< br>三条线其实与里面三条线是一样的，图形的外面实际上就是
三棱锥的底面，三棱锥的底面与三个侧 面其实也是一样的。
这样任何第五点只有放在三个小三角形（侧面）中间及里面
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三条连线（棱线）上两种情况。
当第五点放在任一小三角形中间，显而易见这 点只能与周围
的三个点有连线（如图1中E点），并且又把小三角形分隔
成三个更小的三角形， 这样只要第六点、第七点……一直到
任意多点都落在三角形中间，每一点都只能与包围它的三点
有连线，所以无论有多少个点“四色足够”。

当第五点放在中间任一连线（包括以上更小更更 小的连线）
上时（如图2中E点所示），E点成了三角形ABD与三角形
ACD公共边AD中间 的点，这样实际上形成了ABDE及ACDE两
个四边形，而最大平面图中是不存在多边形的。若E点与 B
点有连线，A点与D点从右边仍有连线，那么E点又变成了
三角形ABD中间的点；若E点与 C点有连线，A点与D点从
左边有连线，那么E点又变成了三角形ACD中间的点；若E
点与B 点及C点都有连线，那么A点与D点的连线必被E点
隔断，这就是《证明》中的“五点必断”，再看看这 时整个
图变成了E点被三角形ABC所包围取代了D点原来的地位，
而D点反过来被三角形EB C所包围。接下来第六点、第七
点……一直到任何多点都可落在任何一条公共边上，最后都
会变 成与上面的几种情况一样，形成大三角形里面包含小三
角形，小三角形包含更小三角形……这样可以一级 级的无限
延续下去。
所以最后可以肯定地说“任何复杂的平面图都是由大小不
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等的三点包围一点图所组成，所以也就只要有四种颜色就足
够能使有连线的 点颜色不同。
这样简单的证明其实摩根教授在1860年就已经提出来，但
马上又被他自己所 否定，他主要是把中间一点周围五点的图
看成是最大平面图，没有把五棱锥底面的五边形进行分割，所以也就看不到所有点都可变成被三点包围，这一疏略把这
么简单的“四色问题”变成了千古难题， 一百五十多年来肯
定有许多人其实证明了“四色问题”，但都被摩根的这个否
定给否定掉了。否 定我的《证明》的人其实也是与摩根教授
一样的想法。

在这里我还要肯定地说：以 前有人用“穷举法”借助电子计
算机所谓的证明肯定是不完全的，图形的变化是无穷的，用
成千 上万的个例是根本无法去“穷举”完无穷数的。就象
“七桥问题”可以用“穷举法”证明，可是变成“八 桥、九
桥、十桥……无数桥的问题”，难道也能用电子计算机去一
一证明吗？
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