趣味数学故事之关于“四色问题”的证明
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趣味数学故事之关于“四色问题”的证明
趣味数学故事之关于“四色问题”的证明
“四色问题”是世界数学史上一个非常著名的证明难题，它
要求证明在平面地图上只要用四种颜
色就能使任何复杂形
状的各块相邻区域之间颜色不会重复，也就是说相互之间都
有交界的区域最
多只能有四块。一百五十多年来有许多数学
家用了很长时间，化了很多精力才能证明这个问题。前些日<
br>子报刊上曾有报道说：有好几位大学生用好几台电子计算机
联合起来化了十几个小时才证明了这个
问题。本人在二十多
年前就知道有这么一个“四色问题”，可一直找不到证明它
的方法。现在我
刚接触到“拓扑学”，其实用“拓扑学”原
理一分析，“四色问题”就象当年欧拉把“七桥问题”看成<
br>是经过四个点不重复的七条线段的“一笔画”一样简单，连
一般的小学生都能证明它。
根据“拓扑学”原理，任何复杂形状的每一块区域都可看成
是一个点，两块区域之间相互有交界的可看成
这两点之间有
连线，只要证明在一个平面内，相互之间都有连线的点不会
超过四个，也就证明了
“四色问题”。
平面内的任意一个点A可与许许多多的点B、C、D……X、Y、
Z有连线（
如图1所示），同样B点也可与其它点有连线，C、
D……X、Y、Z各点也可与其它点有连线。但有一
个原则：各
连线之间不能相互交叉，因为一旦交叉就会产生一条连线隔
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断另一条连线（如图2所示），BC的连线就隔断了AD的连线。
但有人会说：两点间的连 线可有许多条，AD连线可绕到B点
或C点以外（图2中虚线所示）不就没有交叉了吗？可是这
样一绕就产生一个结果：原来在一个封闭图形外的点变成了
封闭图形内的点。下面就通过对封闭图形的分 析来证明相互
之间都有连线的点不超过四个。
一个点本身或两个点之间的连线都可形成一个或 多个封闭
图形（如图3所示）。三个相互之间都有连线的点从A点连
到B点再到C点又回到A点 （如图4所示），必定会造成图
形的封闭。封闭图形上的点若多于四点（如图5所示），从
第三 点C起各点与第一点A的连线又将整个封闭图形分割成
许多小的封闭图形。因此得出结论①：同一平面上 任何三个
相互之间都有连线的点，它们之间的连线必定会形成至少一
个封闭图形。我们况且叫作 三点连线封闭定律。
平面上任何第四点可以是在上述三点连线构成的封闭图形
内，也可以在封 闭图形外（如图6中D点和D′点），D点可
分别与A、B、C点有连线，D′点也可分别与A、B、C 点有
连线。D点与A、B、C点的连线把封闭图形ABC分割成三个
小的封闭图形，D′点与A 、B、C点的三条连线中一定有一
条被夹在另两条中间，图6中D′A线被D′B线与
D′C线夹在中间，A点被封闭图形BCD′所包围，与D点在
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<
br>封闭图形ABC中情况相同。因此得出结论②：同一平面上任
何四个相互之间都有连线的点中，必
定有一个点被另三个点
连线所形成的封闭图形所包围。我们况且叫作四点连线包围
定律。 那么平面上有没有第五点能分鹩肷鲜鏊牡愣加辛?吣兀渴紫
日獾谖宓鉋若要与第四点D有连线就必须
也在封闭图形ABC
里面，其次这第五点不能落在各条连线上，否则会隔断这条
连线。第五点只
能落在E1、E2、E3位置（如图7所示），而
这三个位置上的点分别只能与包围它的小封闭图形上的
三
个点有连线，而不能与第四点有连线，若要有连线必定会隔
断其它连线。因此得出结论③：同
一平面上任何相互之间都
有连线的点最多只能有四个，若第五点要与这四点有连线，
必定会使其
中两点的连线中断。我们况且叫作五点连线必断
定律。这就是要求证明的“四色问题”。
以上
是在同一平面上证明了“四色问题”。如果各区域图是
分布在立体形的表面（比如地球仪），我们根据拓
扑学基本
原理可以把这个立体形看成扁平形的，把图6中的D点看成
在平面前，把D'点看成在
平面后，这两点若要有连线除非从
平面中穿孔而过或者从立体形表面外的空间跨过去，否则这
两
点被封闭图形ABC所隔开是不可能有连线的。这个立体形
可以是只要中间不穿孔的任何形状，因为不管
你表面如何棱
棱角角、凹凸不平，从拓扑学来看都与球形是一样性质的，
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这好比一个气球在充气前可以是任何形状，充气后总是接近
球形。但立体形中间有穿孔的
情况就不同了，它最后不会变
成球形只能变成车轮内胎状的环形，前面的第四点与后面的
第五点
能通过中间的孔有连线。上面还提到的从立体形表面
外的空间跨过去，跨过去的部分实际上与原来的立体
形组成
了一个环形，最后也能变成车轮内胎状。所以得出结论：中
间没穿孔的立体形表面上相互
之间都有连线的点最多只能
有四个。
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