龙岩学院怎么样-花钟的资料

趣味数学故事：互联网梅森素数大搜索
2019年4月6日，住在美国密歇根州普利茅茨的那
扬·哈吉拉特瓦拉(Nayan Hajratw ala)先生得到了一笔五万
美元的数学奖金，因为他找到了迄今为止已知的最大素数，
这是一 个梅森素数：
26972593-1。
这也是我们知道的第一个位数超过一百万位的素数。 精确地
讲，如果把这个素数写成我们熟悉的十进制形式的话，它共
有两百零九万八千九百六十位 数字，如果把它以这个形式写
下来，大约需要150到200篇本文的篇幅。
可是哈吉拉特瓦拉先生并不是一个数学家，他甚至很可能对
寻找素数的数学理论一无所知--虽 然这使他赢得了这笔奖
金。他所做的一切，就是从互联网上下载了一个程序。这个
程序在他不使 用他的奔腾II350型计算机时悄悄地运行。在
经过111天的计算后，上面所说的这个素数被发现了 。
二、梅森素数
我们把一个大于1的自然数叫作素数，如果只有1和它本身
可以整 除它。如果一个比1大的自然数不是素数，我们就叫
它合数。1既不是素数，也不是合数。
比 如说，你很容易就可以验证7是一个素数；而15是一个
合数，因为除了1和15外，3和5都可以整除 15。根据定
义，2是一个素数，它是唯一的偶素数。早在公元前三百年
第 1 页

的古希腊时代，伟大的数学家欧几里德就证明了存在着无穷
多个素数。
关于素数，有许多既简单又美丽，但是极为困难的，到现在
还没有答案的问题。其中有著名的哥德巴赫 猜想，它是说任
何一个大于6的偶数，都能表示为两个奇素数之和。还有孪
生素数问题。象5和 7，41和43这样相差2的素数对，被
称为孪生素数。孪生素数问题是说：是不是有无穷多对孪生素数？这里要顺便提一下的是，这些看起来很简单的数学问
题，它们的解决方法将一定是极其复杂的 ，需要最先进的数
学工具。如果你不是狂妄到认为几百甚至几千年来所有在这
些问题上耗费了无 数聪明才智的数学家（有许多是非常伟大
的）和数学爱好者加起来都不如你聪明，就不要试图用初等方法去解决这些问题，徒费时间和精力。
古希腊人还对另一种数感兴趣。他们将它称为完美数。一 个
大于1的自然数叫完美数，如果它的所有因子（包括1，但
不包括本身）之和等于它本身。比 如说6=1+2+3就是最小的
完美数，古希腊人把它看作维纳斯也就是爱情的象征。
28=1 +2+4+7+14是另一个完美数。欧几里德证明了：一个偶
数是完美数，当且仅当它具有如下形式：
2p-1（2p-1）
其中2p-1是素数。上面的6和28对应着p=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2p-1的素数，也就知道了一个偶
第 2 页

完美数；我们只要找到所有形如2p-1的素数，也就找到了
所有偶完美数。所以哈吉拉特瓦拉先生不但 找到了世界上已
知的最大的素数，还找到了世界上已知的最大的偶完美数。
嗯，你要问，关于奇 完美数又是怎么样的情况？回答是：我
们现在连一个奇完美数也没有找到过，我们甚至根本不知道
是不是有奇完美数存在。我们只知道，要是有奇完美数存在
的话，它一定是非常非常大的！奇完美数是 否存在这个问题，
也是一个上面所说的既简单又美丽，但是极为困难的著名数
学问题。
有很长一段时间人们以为对于所有素数p，
M_p=2p-1
都是素数（注意到要 使2p-1是一个素数，p本身必须是一个
素数，想一想为什么？）但是在1536年雷吉乌斯(Hud alricus
Regius)指出，M_11=211-1=2047=23*89不是素数。
皮特罗·卡塔尔迪(Pietro Cataldi)首先对这类数进行了系
统的研究。他在1 603年宣布的结果中说，对于p=17，19，
23，29，31和37，2p-1是素数。但是16 40年费尔马使用著
名的费尔马小定理（不要和那个费尔马大定理混淆起来）证
明了卡塔尔迪关 于p=23和37的结果是错误的，欧拉在1738
年证明了p=29的结果也是错的，过后他又证明了 关于p=31
的结论是正确的。值得指出的是，卡塔尔迪是用手工一个一
个验算取得他的结论的 ；而费尔马和欧拉则是使用了在他们
第 3 页

那时最先进的数学知识，避免了许多复杂的计算和因此可能
造成的错误。

法国神父梅森(Marin Mersenne)在1644年他发表了他的成
果。 他宣称对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127
和257，2p-1都是素数 ，而对于其它小于257的素数p，2p-1
都是合数。今天我们把形如M_p=2p-1的素数叫做梅 森素数，
M_p中的M就是梅森姓氏的第一个字母。

用手工来判断一个很大的数是 否素数是相当困难的，梅森神
父自己也承认他的计算并不一定准确。一直要等到一个世纪
以后， 在1750年，欧拉宣布说找到了梅森神父的错误：M_41
和M_47也是素数。可是伟大如欧拉也会 犯计算错误--事实
上M_41和M_47都不是素数。不过这可不是说梅森神父的结
果就是对 的。要等到1883年，也就是梅森神父的结果宣布
了两百多年后，第一个错误才被发现：M_61是一 个素数。然
后其它四个错误也被找了出来：M_67和M_257不是素数，而
M_89和M_ 107是素数。直到1947年，对于p

第 4 页