孤独之旅-搞笑生日快乐祝福语

整数的简单性质（二）
（一）知识、技能、方法
一、质（素）数与合数
一个大于1的整数，仅有1和它本身这两个正因数，则这样的正整数叫 做质数或素数.
一个正整数除1和它本身外，还有其他正因数，则这样的正整数叫做合数.显然
全体正整数={1}∪{质数}∪{合数}.
（1）若
az,a1
，则
a
的除1以外的最小因数q是一个素数.如果q≠a，则
qa
；
（2）若p是素数，a为任一整数，则必有p | a或（a，p）=1；
（3）设
a
1
,a
2
,

,a
n
为n个整数，p为 素数，且
p|a
1
a
2
a
n
，则p必能整除某个
a
i
(1in)
；
（4）对任给整数
n1
，总可以找到
n
个相邻的合数.若
n
是合数，则
n
有平方不 大于
n
的
素因数.
二、几个重要定理
（1）（埃氏筛法）设n1
为正整数，且
n
不被不超过
n
的素数整除，则
n
为素数.
（2）（欧几里得）素数有无限多个.
（3）（算术基本定理）每个大于 1的整数，都可以惟一地分解成素因数的乘积（不计因数的
顺序）.即，任何大于1的整数
n< br>能惟一地写成
np
1
1
p
2
正整数，
1 ik
p
1
p
2

aa
2
p
k
a
k
（其中
p
i
是质数，
a
i
是
p
n
为质数，

i
p
k
），称上式 为整数
n
的标准分解式.

2
（4）设大于1的整数
n
的标准分解式为
np
1
1
p
均为非负整数），则其正因 数
dp
1
1
p
n
ee
2
p
n< br>
n
(p
1
p
2

p
n
e
n
(0e
i


i
)
；所有正因数的 个数为
n
p
i

i
1
1
d(n)< br>
（

i
1)
；所有正因数之和为

(n )

.
p1
i1
i1
i
（5）
n
为平方数的充要条件是
d(n)
为奇数.
（6）在n！的标准分解式中， 质因数p的最高指数p(n!)=
[
n
][
n
2
]pp
[
n
，这里
]
p
k
p
k
np
k1
，
k
是非负整数.
三、最大公约数与最小公倍数
1、定义
设
a
、
b
是两个不全为0的整数，若整数c满足 ：
c|a,c|b
，则称
c为a,b
的公约数；
a与b
的所 有公约数中的最大者称为
a与b
的最大公约数，记为
(a,b)
. 如果
(a,b)
=1，则称
a与b
互质或互素.
a与b
的 公倍数中最小的正数称为
a与b
如果
d是a
、则称
d是a
、
b
的倍数，
b
的公倍数；
的最小公倍数，记为
[a,b]< br>.
最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用
(a
1
,a
2
,,a
n
)
表
示
a
1
,a
2
,

,a
n
的最大公约数，
[a
1
,
a
2
,

,
a
n]
表示
a
1
,a
2
,

,a
n
的最小公倍数.

2、定理
①
(a
1
,a
2
,,a
n
][|a
1
|,|a
2
|,,|a
n
|]
.
② 设a、b、c是三个不全为0的整数，且有整数t 使得
abtc
，则
(a,b)(b,c)
，
即
(a, b)(b,abt)
.
3、性质
（1）
mN
，则
(am,bm)m(a,b)
.
（2 ）设
c
为
a,b
的公约数，则
(,)
,a
n)(|a
1
|,|a
2
|,,|a
n
|)
，
[a
1
,a
2
,
ab
cc
(a,b)ab
.特别地，若
c(a,b)
，则
(,)1
.
ccc< br>,(c
n1
,a
n
)c
n
，（3）设
a
1
,a
2
,

,a
n
是任意n个正整数， 如果
(a
1
,a
2
)c
2
,(c
2,a
3
)c
3
,
则
(a
1
,a2
,,a
n
)c
n
.
（4）（裴蜀定理）若整数< br>a,b
不全为零，则存在
x,yZ
，使得
axby(a,b)< br>.
特别地，
(a,b)1
存在
x,y
使得
ax by1
.
（5）若
(a,b)1
，则
(ac,b)(c, b)
，
(ab,c)(a,c)(b,c)
.
（6）
[ak,bk]k[a,b](kN)
； ②
m
为
a,b
的任一公倍数，则
[a,b]|m
.
（7）
(a,b)[a,b]ab
，特别地，若
(a,b)1,则[a,b] ab
.
（8）设
a
1
,a
2
,
则
[a
1
,a
2
,

,a
n
是任意
n
个正整数，若
[a
1
,a
2
]m
2
,[m
2
,a
3
]m
3
,,[m
n1
,a
n
]m
n
，
,a
n
]m
n
.
（二）例题分析
例1、对任意整数
n
，证明分数
21n4
是既约分数.
14n3



例2、求下列两组数的最大公约数与最小公倍数：
（1）169，121； （2）-1859，1573.



例3、证明：存在无数个自然数
n
，使得
nn41
为合数.



例4、设
21(mN)
为素数，求证：
m
是2的非负整数次幂.


m
2

例5、已知
(a,b)1
，证明：（1）
(ab,ab)1
；（2）
(ab,ab)1
；
（3）若
(ab,ab)d
，则
d1
或
d2.




例6、设
x,y
是正整数，xy
且
xy667
，它们的最小公倍数是最大公约数的120倍，
求
x,y
.





例7、设
m,n0
，若
mn|(mn)
，则
mn
.




例8、已知
F
n
21
，若mn
，则
(F
m
,F
n
)1
.




例9、设正整数
a,b,c
的最大公约数是1，并且





2
n
22
22
ab
c
，证 明
ab
是一个完全平方数.
ab
a,b
都是正整数，例10、 是否存在整数
p,q
使得对任意的正整数
n
，
pna
与< br>qnb
互质？





n
3
1
例11、求出所有的正整数对
(m,n)
，使得是一个整数.
mn1

例12、求出最小正整数
n
，使其恰有1 44个正约数，并且其中有10个连续整数.





例13、有多少个正整数对
x,y
，
xy
，使得
(x,y)5!
和
[x,y]50!
成立？





例14、求最大的自然数
x
，使得对每一个自然数
y
，
x< br>能整除
712y1
.




例15、求所有正整数
x
、
y
，使得
xyzxyz
，
z
是
x
与
y
的最大公约数.



23
y