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整数的性质(全)

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整数的性质及其应用（1）
基础知识

整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的
整除性、整数的 奇偶性，质数与合数、完全平方
数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质
在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉
及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设
使得
是给定的数，，若存在整数，
则称整除，记作，并称是的一个
。
约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上
述，则称不能整除记作
由整除的定 义，容易推出以下性质：
(1)若
(2)若
且
且
，则
，则
及
(传递性质)；
即为某一整数倍数的整
有
数之集关于加、减运算 封闭。若反复运用这一性
质，易知，则对于任意的整数
。更一般，若
。或着
( 3)若

都是的倍数，则
其中；
，因此若且
，则
，则或者，或者

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，则
(4)
；
互质，若，则；
中
，则；
(5)是质数，若，则能整除
的某一个；特别地，若是质数，若< br>(6)(带余除法)设
和，使得
为整数，，则存在整数
，其中，并且和由上述< br>条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)
商，数称为被除得的余数。注意：共有种
可能的取值：0,1，……，
整除的情形；
易知，带余除法中的商实际上为
不等式： 。证明
（不超过
。若，即为被
的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的
的基本手法是将分解为
与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种
数的分解常通过在一些代数 式的分解中取特殊
值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很
多，见例1、例2。
若是正整数，则
若是正奇数，则
（在上式中用代）
3

；
；

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(7)如果在等式中取去某一项外，其余各
项均为的倍数，则这一项也是的倍数；
(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍
数；
(9)任何n个连续的整数之积 一定是n!的倍数，
特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；
2．奇数、偶数有如下性质：
(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶
数＝ 奇数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，
奇数奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、
积仍为 偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶
数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇
数，和 为偶数；
（2）奇数的平方都可以表示成
的平方可以表示为或
的形式，偶数
的形式；
的形式，（3）任何一个正整数，都可以写成
其中为负整数，为奇数。
（4）若有限 个整数之积为奇数，则其中每个整
数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些
整数中至少有 一个是偶数；两个整数的和与差具
有相同的奇偶性；偶数
4
的平方根若是整数，它

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必为偶数。
3．完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方
数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：
（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数 ，奇数的平方
数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有
可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定
是6；
（5）不能被3整除的数的平方 被3除余1，能
被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数
被9也合乎的余数为0,1，4 ,7，且此平方数的各
位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一
个平方数。
（8）设正整数
（

之积是一个正整数的次方幂
都是整数的次方
5
），若（）＝1，则

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幂。一般地，设正整数
的次方幂（），若
是正整数的k次方幂。
之积是一个正整数
两两互素，则都
4．整数的尾数及其性质
整数的个位数也称为整数的尾数，并记为
。
质：
（1）
；
（3）
；
（5）若
（7）
，则；（6）
；
；
；（4）；
；（2）＝
也称为尾数函数，尾数函数具有以下性
（8）
5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）
（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）
整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；
（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整
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除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；
（3）若 一个整数的未两位数字能被4（或
25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则
不能；
（4）若一个整数的未三位数字能被8（
或125
）
整除，则这个数能被 8（
或125
）整除，否则不能；
（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶< br>位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能
被11整除，否则不能。
6．质数与合数及其性质
1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数
（素数 ）：一个大于1的正整数，如果它的因数
只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果
一个 自然数包含有大于1而小于其本身的因子，
则称这个自然数为合数。
2．有关质（素）数的一些性质
（1）若，则的除1以外的最小正因
，则； 数是一个质（素）数。如果
（2）若是质（素）数，为任一整数，则
必有

或（）＝1；
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（3）设
且
为个整数，为质（素）数，
）； ，则必整除某个（
（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正
整数，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不
计 较因数的排列顺序）；
（5）任何大于1的整数能唯一地写成
① 的形式，其
中为质（素）数（
标准分解式；
（6）若的标准分解式为①，的正因数的
个数记为，则。
）。上式叫做整数的
整数的性质及其应用（2）
基础知识

最大公约数与最小公倍数是数论中的一个
重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、
最大公 约数、最小公倍数等基本概念与性质。
定义1.（最大公约数）设
整除
不全为零 ，故
大一个称为
不全为零，同时
的整数（如）称为它们的公约数。因为
只有有 限多个，我们将其中最
）表示。的最大公约数，用符号（
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显然，最大公约数是一个正整数。

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当（）＝1（即的公约数只有）时，我
们称与互素（互质）。这 是数论中的非常重要
的一个概念。
同样，如果对于多个（不全为零）的整数
， 可类似地定义它们的最大公约数（
若（
不能推出
）＝1，则称
两两互素；但反 过来，若（
）＝1。
）。
）
互素。请注意，此时
两两互素，则显然有（
由最大公约数 的定义，我们不难得出最大公
约数的一些简单性质：例如任意改变
不改变（
换，（）的值，即
）；（
；（
）＝（
的符号，
）可以交
）＝（ ）
）作为的函数，以为
周期，即对于任意的实数，有（
一些常用的一些性质：
（1）设
使得
等等。为了更详细地介绍最大公约数，我们给出
是不全为0 的整数，则存在整数
；
，
（2）（裴蜀定理）两个整数
件是存在整数，使得；
互素的充要条
事实上，条件的必 要性是性质（1）的一个特
例。反过来，若有
则

使等式成立，不妨设
，于是
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，
，从，故及，即

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而。
，则，即的任何一个 （3）若
公约数都是它们的最大公约数的约数；
（4）若
（5）若
，则
，则
；
，因此两个不互素
的整数，可以自然地产生一对互素的整数；
（6）若
由此可以推出：若
而有对有。
，若，则；
，则
，对于< br>，也就是说，
有，进
与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并
（7）设
（8）设正整数
幂（），若（
之积是一个正整数的次方
都是整数 的次方
之积是一个正整数
两两互素，则都
）＝1，则
），若
幂。一般 地，设正整数
的次方幂（
是正整数的次方幂。
定义2.设是两个非零整数，一个 同时为
的最小公倍数，
，可类似地定
倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为
记作

，对于多个非零实数
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义它们的最小公倍数［］。
最小公倍数主要有以下几条性质：
（1）与的任一公倍数都是的倍数，对
于多于两个数的情形，类似结论也成立；
（2）两个整数
满足：
成立）；
（3）若
｜；
（4）若
｜。



的最大公约数与最小公倍
（但请注意 ，这只限于两个整数
的情形，对于多于两个整数的情形，类似结论不
两两互素，则［］＝｜，且两两互素，则
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